Question

Seja O(0, 0, 0) o ponto da origem de um sistema cartesiano tridimensional, considere três pontos no espaço A, B e C. Na presente atividade, as coordenadas dos pontos A e B são conhecidas, e seus valores estão em função do seu registro acadêmico R.A., já o outro ponto tem duas coordenadas fixas conhecidas e a terceira não, ou seja, C(1,1,k). Assim, calcule o valor de k sabendo-se que os vetores OA, OB e OC estão situados num mesmo plano no espaço. Por exemplo, se meu RA é 18160545, utilizaremos os seis primeiros algarismos, ou seja, A(1,8,1) e B(6,0,5).​ O RA séria 17342945

Answer 1

O valor de k é igual a 30/13.

De acordo com o que foi dito no enunciado, temos que os pontos A e B são iguais a A = (1,7,3) e B = (4,2,9).

Os vetores OA, OB e OC são iguais a:

OA = (1,7,3) - (0,0,0)

OA = (1,7,3)

OB = (4,2,9) - (0,0,0)

OB = (4,2,9)

OC = (1,1,k) - (0,0,0)

OC = (1,1,k).

Com os vetores acima, vamos montar a seguinte matriz: $\left[\begin{array}{ccc}1&7&3\\4&2&9\\1&1&k\end{array}\right]$. Calculando o determinante dessa matriz, obtemos:

det = 1(2.k - 1.9) - 7(4.k - 1.9) + 3.(4.1 - 1.2)

det = 2k - 9 - 28k + 63 + 12 - 6

det = -26k + 60.

Para que os três vetores sejam coplanares, o determinante tem que ser igual a zero.

Portanto, o valor de k é igual a:

-26k + 60 = 0

26k = 60

k = 60/26

k = 30/13.