Question

Seja n um número natural, que possui exatamente três divisores positivos, e seja X o conjunto de todos os divisores positivos de n³ . O número de elementos do conjunto das partes de X é:

Answer 1

Imagine que o número natural N tenha exatamente 3 divisores;
Obviamente estes divisores são 1, m, N

Lembre-se que a unidade e o próprio número são divisores obrigatórios

Se calculamos N² vamos encontrar mais dois divisores para este número, que são mN e m²N

Veja que:

$\frac{N^2}{mN}=\frac{N}{m}$

Mas m é divisor de N e N², logo mN também é divisor de N²

e que

$\frac{N^2}{m^2N}=\frac{N}{m^2}$

Observe que N=m^2 (sempre que o natural tem exatamente 3 divisores, logo $\frac{N}{m^2}=1$ e então m²N também é divisor de N²

Se tomarmos N³ então de maneira análoga teremos mais dois divisores (aplique o mesmo raciocínio anterior) e N³ terá, então, 7 divisores.

Agora a resposta da tarefa:  Se o conjunto de divisores de N³ tem 7 elemento, então o conjunto X de suas partes terá $2^7=128 \ elementos$