Question

Seja n um número natural, que possui exatamente três divisores
positivos, e seja X o conjunto de todos os divisores positivos de n³ .
O número de elementos do conjunto das partes de X é:

Answer 1

Olá, MarCosta.

Como $n$ possui exatamente três divisores, podemos concluir que $n$ é um quadrado de um número primo:

$n=p\²,\text{ onde }p\text{ \'e primo}$

Tendo $n$ esta forma, ele possui apenas três divisores: $1,p$ e $p\².$

Assim:

$n^3=(p\²)^3=p^6$

Observe agora o seguinte teorema:

"Se a decomposição em fatores primos de um número natural $n$ qualquer é $n=p^{k_1}\cdot p^{k_2}\cdot...\cdot p^{k_n},$ então o número de divisores de $n$ é dado pelo seguinte produto: $(k_1+1)(k_2+1)...(k_n+1).$"

Observe que $n=p\²$ satisfaz o teorema acima, pois sabemos que $n$ possui 3 = 2 + 1 divisores.

Sendo $X$ o conjunto dos divisores de $n^3=p^6,p\text{ primo},$ então o número de elementos de $X$ é dado por:

$6+1=7\text{ elementos}$

Utilizaremos agora outro teorema:

"Seja $k$ o número de elementos de um conjunto $A$ qualquer. O número de elementos do conjunto das partes de $A$ é igual a $2^k.$"

Assim, o número de elementos do conjunto das partes de $X$ é igual a:

$\boxed{2^{7}=128\text{ elementos}}$