Question

Seja n um número inteiro positivo. Se os três menores divisores positivos de n são os números 1, 3 e 13, e se a soma dos três maiores divisores de n são igual a 3905, então n é igual a:

a) 2535
b) 2847
c) 2769
d) 2028

Answer 1

Resposta:

C) 2769

Explicação passo-a-passo

Como dito pela questão os menores divisores são 1, 3, 13, nesse caso como 1 é divisor universal não será incluído nos cálculos.

Como N é divisível por esses números, ele também é múltiplo, assim é seguro dizer que 3.13 resultara em um dos múltiplos de N.

$n= 1 . 3 . 13$

Como o 1 não será incluso, teremos que encontrar um terceiro fator, X, sendo ele  maior que o 13 por representar um temo posterior  da sequência. Logo teremos que X>13 (usaremos essa informação mais a frente).

$n=3.13.x$

Uma vez posto o terceiro fator, elevaremos eles a potencias que não resultem em números compostos (não primos), logo elevaremos a 0 e 1, criando todas a possibilidades.

$n=3^0.13^0.x^0= 1$               $n=3^1.13^1.x^0=39$

$n=3^0.13^0.x^1= x$               $n=3^1.13^0.x^1=3x$

$n=3^0.13^1.x^0=13$               $n=3^0.13^1.x^1=13x$

$n=3^1.13^0.x^0=3$               $n=3^1.13^1.x^1=39x$

Como a questão se refere aos maiores divisores, agora pegaremos os maiores resultados de nossas possibilidades, que justamente são os que estão acompanhados do termo X, já que ele é maior que 13, então todos multiplicados por ele também serão.

Se a soma dos maiores é igual a 3905, usaremos ele para encontra o valor de X. Escreveremos então:

$3x+13x+39x=3905$

Então resolveremos essa equação

$3x+13x+39x=3905$

$55x=3905$

$x=\frac{3905}{55}$

$x=71$

Como queremos encontrar o valor de N, retomaremos a equação montada no começo, mas dessa vez substituindo x pelo valor encontrado:

$n=3.13.71\\n=39.71\\n=2769$

Logo a resposta é a alternativa C.

Espero que tenha compreendido. Abraço!!!

Answer 2

Resposta:

Letra C, 2769

Explicação passo a passo:

Se os três menores divisores de n são 1, 3 e 13, estes serão os fatores na decomposição de n.

n | 3

  | 13

  | x

  |

A incógnita x será necessária para descobrir qual é (ou quais são) os fatores de n que não sabemos. A partir disso, utilizaremos um macete para descobrir quais são os divisores de n.

Preste atenção nesse processo. Multiplicaremos 1 por todos os fatores, depois, multiplica-se o 3 por todos os fatores abaixo da linha do 3. Após isso, multiplicamos x por 13 e por 39 (dúvidas, clicar no link ao final da página para um vídeo explicatório da questão).

           1

n | 3  | 3

  | 13 | 13, 39

  | x  | x, 3x, 13x, 39x

 

A questão também nos diz que a soma dos maiores divisores resultam em 3905. Então, utilizaremos os 3 últimos fatores descobertos (3x, 13x e 39x)

3x + 13x + 39x = 3905

55x = 3905

x = 3905/55

x = 71

Para descobrirmos o valor de n, basta substituir x do maior termo (39x).

39 . 71 = 2769

Dúvidas sobre a questão, assistir este vídeo: https://www.youtube.com/watch?v=yp2kGJB_6M8&ab_channel=CristianoSousa