Question

Seja n um inteiro positivo cuja representação decimal é $a_{_m} ... a_{_1} a_{_0}$ e $f$ a função que troca a posição dos dígitos $a_{_{2i}}$ e $a_{_{2i+1}}$ , de forma que $f(a_{_{2k+1}}a_{_{2k}}...a_{_{1}}a_{_{0}}) \ = \ a_{_{2k}}a_{_{2k+1}}...a_{_0}a_{_1}$ . Por exemplo :

f(123456) = 214365
f(1034) = 143
f(123) = 1032
f(10) = 1

Determine o menor número maior que 99 que satisfaça à equação ,

$x^2 \ = \ 9x \ + \ 9f(x) \ + \ [ \ f(x) \ ]^2$

Answer 1

Olá Ludeen!

Simplificando a equação dada, temos:

$x^2=9x+9f(x)+(f(x))^2\\x^2-(f(x))^2=9x+9f(x)\\(x+f(x))*(x-f(x))=9*(x+f(x))\\\boxed{x-f(x)=9}$

A diferença entre o número original e seus algarismos trocados (Unidades->Dezenas e Centenas->Milhares) deve ser igual a 9.

A troca de posição das centenas provocará uma diferença muito alta dependendo da diferença entre os algarismos.

Por exemplo, 0 e 1 são números que se diferem em apenas 1 algarismo, porém, ao colocarmos o número 100 na função, este virará 1000, causando uma diferença enorme de 900 unidades como resultado.

Essa diferença de 900 é sempre fixa para algarismos que se diferem em apenas uma unidade nas casas (Centenas e Unidades de Milhar) *Sem alterações nas casas (Unidade-Dezenas).

Considere um número nesse formato: ab00.

É o mesmo que ab*100, assim antecipadamente podemos provar de forma simultânea outra premissa que se a troca for feita entre as casas (Unidade->Dezena), a diferença será de exatamente 9, como solicitado na equação.

Considerando b=a-1. (Sinal negativo, pois x deve ser maior que f(x)) 

então: x = ab00 = (10a+b)*100 = (10a+a-1)*100=(11a-1)*100
           f(x)= ba00 = (10b+a)*100 = (10(a-1)+a)*100=(11a-10)*100

Obs: *100 representa que estamos trabalhando com a casa das Centenas e Unidades de milhar, se fosse com as casas menores, seria apenas *1 ou nada.

Assim:

y = x-f(x) = (11a-1)*100 - (11a-10)*100 = 100*(11a-1-11a+10) = 100*9 = 900

Concluímos com isso dois pontos.

Os números das casas (Centenas e Unidades de milhar) devem ser iguais, para não provocar nenhuma alteração como esta, de 900 devido a diferença de apenas uma unidade.

Precisamos apenas alternar as casas (Unidades e Dezenas) com algarismos que se diferem em apenas uma unidade.

Portanto, para encontrar o menor número maior que 99 que satisfaça a equação e os pontos, as casas maiores não podem ter algarismos iguais a 0, portanto, o menor algarismo subsequente é o 1.

O número por enquanto é 1100.

Vamos aplicar a segunda regra.

A diferença entre os algarismos das unidades deve ser igual a 1, então escolheremos os 2 algarismos menores, que são 0 e 1. Além disso, x deve ser maior que f(x), assim em x, o 1 deve ficar na casa das dezenas, então:

x = 1110 e f(x) = 1101

Que é o menor valor de x>99 que satisfaz a equação:

x-f(x)=9
1110-1101=9
9=9

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