Question

Seja N o menor número que tem 378 divisores e é da forma 2a ×3b ×5c ×7d . Quanto vale cada um desses expoentes?

Answer 1

(a+1)(b+1)(c+1)(d+1) = 378

(a+1)(b+1)(c+1)(d+1) = 2 . 3³ . 7

Blz, então de cara não tem fator 5, ou seja, c = 0. As opções são:

(a+1)(b+1)(d+1) = 2 . 27 . 7

(a+1)(b+1)(d+1) = 6 . 9 . 7

(a+1)(b+1)(d+1) = 6 . 3 . 21

E te garanto que algo elevado a 21 ou a 27 cai na casa dos quadrilhões, ou seja, 6 . 9 . 7 é a menor opção. Como 2 é o menor fator, ele recebe o maior expoente, e assim por diante.

(a+1) = 9

a = 8

(b+1) = 7

b = 6

(d+1) = 6

d = 5

Mas também temos a opção de ter tudo na base 2 somente. Nesse caso, testamos:

2^8 . 3^6 . 7^5 > 2^7 . 3^6 . 7^6

O que de fato é verdade. Então:

a = 6

b = 5

c = 5

Essa é a menor opção que encontrei.

Resposta: a=6, b=5, c=0, d=5.