Question

Seja n o menor número natural que possui exatamente 20 divisores positivos. Qual é a soma dos algarismos de n?
(E) 9

(D) 8

(C) 7

(B) 6

(A) 5

Answer 1

Resposta:

Explicação passo a passo:

2^4 x 3^3 = 16 x 27 = 432

Para calcular o número de divisores naturais de n pega-se cada expoente do n decomposto em fatores primos, adiciona-se 1 unidade e efetua-se o produto, logo:

(4+1) x (3+1) = 5 x 4 = 20

Como n é 432, 4 + 3 + 2 = 9

Answer 2

A soma dos algarismos de n é 6, alternativa B.

Divisores

O divisor de um inteiro n é o número que deve ser multiplicado por algum inteiro para produzir n.

Podemos escrever qualquer número n maior que 1 como um produto de fatores primos da seguinte forma:

$n = a^\alpha \cdot b^\beta \cdot c^\gamma \cdot ...$

Considerando os expoentes α, β e γ, o número de divisores de n é calculado pelo produto:

(α + 1)·(β + 1)·(γ + 1)·...

Um certo número possui 20 divisores, então:

(α + 1)(β + 1)(γ + 1)... = 20

Se fatorarmos o número 20, teremos:

20 | 2

10 | 2

5 | 5

1 | 2 · 2 · 5 = 20

Deste produto, teremos:

α + 1 = 2

α = 1

β + 1 = 2

β = 1

γ + 1 = 5

γ = 4

Como queremos o menor número com 20 divisores, os valores de a, b e c devem ser os menores possíveis. Além disso, o maior fator primo deve ter o menor expoente:

n = a⁴·b¹·c¹

n = 2⁴·3¹·5¹

n = 240

Logo, a soma dos algarismos de 240 é 6.

Leia mais sobre divisores em:

https://brainly.com.br/tarefa/3590391

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