Question

seja n e N ,entao prove que 4^-1 e divisivel por 3

Answer 1

Olá!
    
     Farei utilizando congruência: diz-se que um número a é côngruo ao número b, no módulo m, ou seja,   $a \equiv b(\mod m),$   se   $m$   divide   $(a-b),$   isto é,    $m|(a-b).$
   
     Utilizarei também a propriedade que diz: para que se tenha d soluções incongruentes módulo m em   $a\cdot x\equiv b(\mod m),$   onde d é o mdc entre a e m, deve-se ter que d divide b, ou seja,   $d|b.$
 

     Dito isto, note que


$4^n = 2\cdot 2^{2n-1}\Rightarrow 2\cdot 2^{2n-1}\equiv b(\mod 3)\Leftrightarrow \text{mdc }(2,3)=1|b\Leftrightarrow \\ \\ \Leftrightarrow b = 1.\\ \\ \therefore \;\;4^n\equiv 1(\mod 3),$
 

ou seja,   $4^n-1$   é divisível por 3.




Bons estudos!