Question

Seja N a quantidade de dígitos de 5⁵⁸, determine um inteiro positivo K tal que.


K ≤ N ≤ K + 4


(Responder sem recorrer ao uso de uma calculadora).

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Por favor responder de forma detalhada.

Answer 1

Para fazermos essa análise, podemos comparar potências menores de 5 com outras conhecidas que sejam próximas. Vamos limitar do seguinte modo:

⇒ Por baixo:

$5>4 = 2^2$

Multiplicando dos dois lados por $5^{57}$:

$5^{58}>2^2\cdot5^{57}$

Porém, essa análise ainda não nos serve para termos noção do número de algarismos. As únicas potências das quais temos conhecimento sobre o número de algarismos são as potências de 10. Dessa forma, vamos fazer trocas convenientes a fim de promover o aparecimento de uma delas no lado direito da desigualdade.

Como $10=2\cdot5$, vamos tentar colocar quantidades próximas de fatores $2$ e fatores $5$ no lado direito, para podermos substituir por uma potência de $10$. Assim, usando que $5>2^2\Longrightarrow 5^n>(2^2)^n$:

$5^{58}>2^2\cdot5^{57}\\\\ 5^{58}>2^2\cdot5^{57}>2^2\cdot (2^2)^n\cdot 5^{57-n}\\\\ 5^{58}>2^2\cdot (2^2)^n\cdot 5^{57-n}\\\\ 5^{58}> 2^{2n+2}\cdot 5^{57-n}$

Como queremos quantidades próximas de fatores 2 e 5, vamos tentar igualar os expoentes dos dois:

$2n+2=57-n\\\\ 3n=55\\\\ n=\dfrac{55}{3}=18,333...$

Como o número obtido acima não é inteiro, vamos tomar o menor mais próximo, isto é, $n=18:$

$5^{58}> 2^{2\cdot18+2}\cdot 5^{57-18}\\\\ 5^{58}>2^{36+2}\cdot 5^{39}\\\\ 5^{58}> 5\cdot 2^{38}\cdot 5^{38}=5\cdot(2\cdot5)^{38}\\\\ 5^{58}> 5\cdot 10^{38}$

Como o número à direita da desigualdade possui 39 algarismos, podemos escrever: $N\ge39~~~(i)$


⇒ Por cima:

$5<6=2\cdot3$

Vamos multiplicar dos dois lados por $5^{57}$ para aparecer o termo que queremos comparar:

$5^{58}< 2\cdot3\cdot5^{57}$

Vamos usar da mesma estratégia de antes. Tentaremos fazer aparecer uma potência de 10 do lado direito para que possamos fazer afirmações acerca do número de algarismos do número. Usando que $5\ \textless \ 8=2^3\Longrightarrow5^n\ \textless \ (2^3)^n$:

$5^{58}\ \textless \ 2\cdot3\cdot5^{57}\\\\ 5^{58}\ \textless \ 2\cdot3\cdot5^{57}\ \textless \ 2\cdot3\cdot5^{57-n}\cdot(2^{3})^n\\\\ 5^{58}\ \textless \ 2\cdot3\cdot5^{57-n}\cdot(2^{3})^n\\\\ 5^{58}\ \textless \ 3\cdot2^{1+3n}\cdot5^{57-n}$

Como queremos quantidades próximas de fatores 2 e 5, vamos tentar igualar os expoentes:

$1+3n=57-n\\\\ 4n=56\\\\ n=\dfrac{56}{4}=14$

Como o valor é inteiro, podemos utilizá-lo na inequação:

$5^{58}\ \textless \ 3\cdot2^{1+3n}\cdot5^{57-n}\\\\ 5^{58}\ \textless \ 3\cdot2^{1+3\cdot14}\cdot5^{57-14}\\\\ 5^{58}\ \textless \ 3\cdot2^{1+42}\cdot5^{42}\\\\ 5^{58}\ \textless \ 3\cdot2\cdot2^{42}\cdot5^{42}=6\cdot(2\cdot5)^{42}\\\\ 5^{58} \ \textless \ 6\cdot10^{42}$ 

Como o número à direita possui 43 algarismos, podemos dizer que: $N\le43~~~(ii)$. 

Unindo (i) e (ii):

$39\le N\le43$

Que pode ser reescrito como:

$39\le N\le39+4$

Portanto, um possível valor de K é: $\boxed{\boxed{K=39}}$