Question

Seja M a soma dos fatoriais dos nnúmeros naturais pares menores oi iguais a 100. Qual o algarismo das unidades de M?

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Answer 1

Resposta:

7

Explicação passo a passo:

Se $M$ é a soma dos fatoriais números naturais pares menores do que ou iguais a $100$, então temos

$M=0!+2!+4!+6!+8!+10!+...$ e assim por diante,

Como a questão pede o algarismo da unidade de $M$, podemos simplesmente ignorar todos os termos possuem $0$ na unidade, pois somar $0$ não altera o valor.

Observação 1: É importante notar que, todo fatorial para um numero $\geq5$ vai possuir unidade $0$, pois vai existir uma multiplicação por $10$em algum momento, pois ao fazer $5\times4\times3\times2\times1$, reorganizando podemos ter $5\times2\times(4\times3\times1)=10\times4\times3\times1=120$

0! = 1

$2! = 2\times1 = 2$

$4! = 4\times3\times2\times1 = 24$

$1+2+24 = 27$

Então o algarismo da unidade da soma dos fatoriais dos números pares menores ou iguais a $100$ é $7$

Observação2: Em alguns livros o $0$ não é considerado um numero natural, o que mudaria nossa resposta para $6$, mas em geral $0$ é considerado sim natural.