Question

Seja M(3, 4) o ponto médio do segmento AB. Sabendo que A
está sobre o eixo das abscissas, e B, sobre o eixo das
ordenadas, determine as coordenadas de A e B.

Answer 1

Resposta:

A ( 6 ; 0 )       B  ( 0 ; 8 )

Explicação passo-a-passo:

Pedido:

Seja M ( 3 , 4 ) o ponto médio do segmento AB.

Sabendo que A  está sobre o eixo das abscissas, e B  sobre o eixo das

ordenadas, determine as coordenadas de A e B.

Resolução:

Recolha de dados:

M[ AB ] = ( 3 , 4 )  

Nota 1 →  Todos os pontos no eixo das abcissas tem coordenada em y

igual a zero

A está sobre o eixo das abcissas, logo tem como coordenadas

( x ; 0 )

Nota 2 → Todos os pontos no eixo das ordenadas têm coordenada em  x igual a zero

B está sobre o eixo das ordenadas, logo tem como coordenadas

( 0 ; y )

Coordenadas estão definidas para todos os pontos.

M [ AB ] = ( 3 , 4 )            A ( x ; 0 )                B ( 0 ; y )

Falta descobrir "x" e "x"

Para o cálculo de ponto médio (M) de segmento de reta de extremos P e Q de coordenadas  

P ( x1 ; y1 ) Q ( x2 ; y2 )    

usa-se a fórmula seguinte :

M[PQ] = [ ( x1 + x2 ) / 2 ; ( y1 + y2 ) /2 ]

Neste caso :  

( 3 ; 4 ) = [ ( x + 0 ) / 2  ;  ( 0 + y ) /2 ]    

Repare agora no que está aqui:

tem do lado esquerdo as coordenadas do M[AB] . Estão separadas por ( ; ).

tem no lado direito também duas expressões separadas por ( ; )

Para que se verifique a igualdade terá que se verificar o seguinte:

3 = ( x + 0 ) / 2    e   4  = ( 0 + y ) /2

Mas isto é um sistema de duas equações a duas incógnitas. Vamos resolvê-lo.

{ 3 = ( x + 0 ) / 2  

{ 4  = ( 0 + y ) /2  

Colocar os primeiros membros sob a forma de fração.

Depois fazer com que todos os termos da equação tenham o mesmo denominador.

{ 3 / 1 =  ( x + 0 ) / 2  

{ 4 / 1 =  ( 0 + y ) / 2    

Multiplicar por 2 cada um dos numeradores e denominadores das frações nos primeiros membros.

Isso vai fazer com que todos os termos tenham o mesmo denominador.

{ (3 * 2) / (1 * 2) =  ( x + 0 ) / 2    

{ (4 * 2) / (1 * 2) =  ( 0 + y ) / 2  

⇔

{ 6 / 2 =  ( x + 0 ) / 2  

{ 8 / 2 =  ( 0 + y ) / 2  

Agora que todos os termos têm o mesmo denominador, podemos "retirar" os denominadores.

{ 6 =  x  

{ 8 =  y  

A ( 6 ; 0 )          B  ( 0 ; 8 )

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Verificação:

M [ AB ] = ( (6 + 0) / 2 ;  ( 0 + 8 ) / 2 )

M [ AB ] = ( 3 ;  4 )

verificado e correto ( de acordo com enunciado)

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Sinais: ( * ) multiplicar    ( / )  dividir       (⇔) equivalente a      

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Qualquer dúvida me contacte pelos comentários desta pergunta.  

Procuro resolver com detalhe elevado para que quem vai aprender a  

resolução a possa compreender otimamente bem.