Question

Seja k um número real tal que K ≠ -9 e K ≠ -5. Determine todos os valores de k para os quais a equação

(x − 4)² y²
--------- + -------- = 1
9 + K 5 + K
representa elipses e hipérboles, e em cada caso indique seu eixo focal. Esboce a curva para k = −7 e encontre seus vértices, focos, retas focal e não focal e assíntotas (caso existam).

Answer 1

A equação será uma elipse quando k > -5 e uma hipérbole quando -9 < k < -5. A curva para k = -7 está anexada abaixo, com seus vértices, focos, retas focal e não focal e assíntotas.

Para que a equação $\frac{(x-4)^2}{9+k}+\frac{y^2}{5+k}=1$ seja uma elipse, os termos 9 + k e 5 + k deverão ser positivos. Sendo assim, temos que 9 + k > 0 e 5 + k > 0.

Resolvendo essas duas inequações, obtemos k > -9 e k > -5. Fazendo a interseção entre esses dois intervalos, concluímos que k > -5.

Agora, para a equação representar uma hipérbole, 9 + k > 0 e 5 + k < 0 ou 9 + k < 0 e 5 + k > 0.

Assim, concluímos que -9 < k < -5.

Observe que o centro da elipse e hipérbole será C = (4,0). Então, o eixo focal será y = 0.

Para k = -7, teremos a cônica $\frac{(x-4)^2}{2}+\frac{y^2}{-2}=1$, ou seja, $\frac{(x-4)^2}{2}-\frac{y^2}{2}=1$ representa uma hipérbole.

Perceba que a = √2. Como C = (4,0), então os vértices são V' = (4 + √2,0) e V'' = (4 - √2,0).

O valor de b também é √2. Sendo assim:

c² = (√2)² + (√2)²

c² = 2 + 2

c² = 4

c = 2.

Logo, os focos são F' = (2,0) e F'' = (6,0)

A reta focal é y = 0 e a não focal é x = 4.

Já as assíntotas são:

(x - 4)² = y²

y = x - 4 e y = -x + 4.

O esboço da curva está anexado abaixo.