Question

Seja K um número real.
Determina os valores de K de modo que a equação do 2.° grau

${x}^{2} - kx + 2k = 0$
tenha uma única solução;

${x}^{2} + (k + 1)x + \frac{1}{2}k = 0$
tenha duas soluções;


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Answer 1

A equação x² - kx + 2k = 0 terá uma única solução quando k = 0 ou k = 8; A equação x² + (k + 1)x + k/2 = 0 terá duas soluções quando k ∈ IR.

Uma equação do segundo grau é da forma ax² + bx + c = 0. Através do valor de delta, conseguimos analisar a quantidade de soluções da equação do segundo grau.

Se:

• Δ > 0, então a equação possui duas soluções reais distintas;
• Δ = 0, então a equação possui uma solução real;
• Δ < 0, então a equação não possui soluções reais.

Da equação x² - kx + 2k = 0, temos que:

Δ = (-k)² - 4.1.2k

Δ = k² - 8k.

Como queremos que essa equação tenha uma única solução, então:

k² - 8k = 0

k(k - 8) = 0

k = 0 ou k = 8.

Da equação x² + (k + 1)x + k/2 = 0, temos que:

Δ = (k + 1)² - 4.1.k/2

Δ = k² + 2k + 1 - 2k

Δ = k² + 1.

Como queremos que a equação tenha duas soluções, então:

k² + 1 > 0

Observe que essa inequação não tem solução real. Isso significa que para qualquer valor de k ∈ IR, a equação terá duas soluções.