Question

Seja I e J dois ideais. Mostre que I Intersecção J é um ideal

Answer 1

Dados I e J ideais em um anel A provaremos que $\mathsf{I\cap\,J}$ também é um ideal em A assim :

I:

$\mathsf{se\,0\in\,I\,e\,0\in\,J\,então\,0\in\,I\cap\,J}$

II:

$\mathsf{dados\,x,y\in\,I\cap\,J}$

$\mathsf{x,y\in\,I\,e\,x, y\in\,J}\\\mathsf{como\,x,y\in\,I\, então\,x-y\in\,I\,e\,x-y\in\,J}$

$\mathsf{logo\,x-y\in\,I\cap\,J}$

III:

$\mathsf{dado\,x\in\,I\cap\,J\,e\,a\in\,A.então\,x\in\,I\,e\,x\in\,J}\\\mathsf{logo\,a.x\in\,I\,e\,a.x\in\,J\, portanto\,a.x\in\,I\cap\,J}$