Question

Seja f(x,y,z) = x^2 - 3xy^2 + 2yz, determine o valor da expressão abaixo no ponto ( 1,2,1):

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\dfrac{\partial f}{\partial x}=-10~\biggr|~\dfrac{\partial f}{\partial y}=-10~\biggr|~\dfrac{\partial f}{\partial z}=4}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades de derivadas parciais.

Seja a função de três variáveis: $f(x,~y,~z)=x^2-3xy^2+2yz$, devemos determinar os valores de $\dfrac{\partial f}{\partial x},~\dfrac{\partial f}{\partial y}$ e $\dfrac{\partial f}{\partial z}$ no ponto $(1,~2,~1)$.

Lembre-se que:

• A derivada parcial de uma função com duas ou mais variáveis é calculada ao considerarmos as outras variáveis como constantes.
• A derivada de uma soma de funções é igual a soma das derivadas das funções.
• A derivada de uma potência é dada por: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.
• A derivada de um produto entre uma constante e uma função é calculada pela regra do produto: $(a\cdot f(x))'=a\cdot f'(x)$.
• A derivada de uma constante é igual a zero.

Primeiro, calculemos $\dfrac{\partial f}{\partial x}$

$\dfrac{\partial f}{\partial x}=\dfrac{\partial}{\partial x}(x^2-3xy^2+2yz)$

Aplique a regra da soma

$\dfrac{\partial f}{\partial x}=\dfrac{\partial}{\partial x}(x^2)-\dfrac{\partial}{\partial x}(3xy^2)+\dfrac{\partial}{\partial x}(2yz)$

Calcule a derivada da potência, produto e constante

$\dfrac{\partial f}{\partial x}=2x-3y^2$

Agora, substitua o valor dos pontos

$\dfrac{\partial f}{\partial x}(1,~2,~1)=2\cdot1-3\cdot2^2$

Calcule as potências e multiplique os valores

$\dfrac{\partial f}{\partial x}(1,~2,~1)=2-12\\\\\\ \dfrac{\partial f}{\partial x}(1,~2,~1)=-10$

Então, calculemos $\dfrac{\partial f}{\partial y}$

$\dfrac{\partial f}{\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial y}(x^2-3xy^2+2yz)$

Aplique a regra da soma

$\dfrac{\partial f}{\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial y}(x^2)-\dfrac{\partial}{\partial y}(3xy^2)+\dfrac{\partial}{\partial y}(2yz)$

Calcule a derivada do produto, da potência e da constante

$\dfrac{\partial f}{\partial y}=-3x\cdot2y+2z$

Multiplique os valores

$\dfrac{\partial f}{\partial y}=-6xy+2z$

Agora, substitua o valor dos pontos

$\dfrac{\partial f}{\partial y}(1,~2,~1)=-6\cdot1\cdot2+2\cdot1$

Multiplique e some os valores

$\dfrac{\partial f}{\partial y}(1,~2,~1)=12+2\\\\\\ \dfrac{\partial f}{\partial y}(1,~2,~1)=-10$

Por fim, calculemos $\dfrac{\partial f}{\partial z}$

$\dfrac{\partial f}{\partial z}=\dfrac{\partial}{\partial z}(x^2-3xy^2+2yz)$

Aplique a regra da soma

$\dfrac{\partial f}{\partial z}=\dfrac{\partial}{\partial z}(x^2)-\dfrac{\partial}{\partial z}(3xy^2)+\dfrac{\partial}{\partial z}(2yz)$

Calcule a derivada do produto, da potência e da constante

$\dfrac{\partial f}{\partial z}=2y$

Agora, substitua o valor dos pontos

$\dfrac{\partial f}{\partial z}(1,~2,~1)=2\cdot2$

Multiplique os valores

$\dfrac{\partial f}{\partial z}(1,~2,~1)=4$