Question

Seja f(x)=x3−x2. O valor mínimo de f(x) no intervalo [0,1] é:

(Usar três casas decimais sem arredondamentos.)

alguém tem alguma ideia?​

Answer 1

Resposta:

f(x")= -4/27 = -0,148...

Explicação passo-a-passo:

  Para fazer o exercício é necessário saber alguns conceitos de derivadas.

1. A primeira derivada de uma f(x) do terceiro grau resultará em uma f'(x) de grau 2, que possui suas raízes sendo os valores de x mínimo e máximo da f(x).
2. A segunda derivada de f(x) (que será a primeira derivada de f'(x)) resultará numa função afim f"(x), esta irá mostrar se x' ou x" representam o máximo ou mínimo.

 

  - Fazendo a derivada de f(x):

f(x)= x³-x²

f'(x)= 3x²- 2x

   - Achando as raízes de f'(x):

3x² - 2x = 0

  - Dividindo a eq. por 3 teremos:

x²- (2/3).x = 0

x.(x - 2/3)= 0

x'=0  e x"=2/3

• Tendo X' e X", basta saber quem é máximo e quem é minimo. Faremos isso atribuindo seus valores a f"(x) e se a imagem for negativa estaremos diante do x de máximo, caso a imagem seja positiva, estaremos diante do x de minimo da f(x) original.

  - Fazendo a derivada de f'(x):

f'(x)= 3x²-2x

f"(x)= 6x - 2

  - Atribuindo x' teremos:

F"(0)= -2

 x'= ponto máximo

 -  Atribuindo x" teremos:

f"(2/3)= 6.(2/3) -2

f"(2/3)= 2.2 -2

f"(2/3)= 2

  x"= ponto mínimo

•   Por fim, basta substituir o valor na função para saber sua imagem mínima:

f(x")= (2/3)³ + (2/3)²

f(x")= 8/27 - 4/9

f(x")= 8/27 - 12/27

f(x")= -4/27

Desculpe a demora e espero ter lhe ajudado.