Question

Seja f(x) = x3+x2-5x-5, determine:

a) Os pontos críticos da função f(x).

b) os pontos de máximo e mínimo de f(x) se existirem.

c) Os pontos de inflexão.

Answer 1

$f(x)=x^{3}+x^{2}-5x-5$

Vamos achar a primeira e a segunda derivadas de $f(x):$

$f'(x)=3x^{2}+2x-5\\ \\ f''(x)=6x+2$


a) Os pontos críticos de $f(x)$ são os pontos onde a primeira derivada é igual a zero:

$f'(x)=0\\ \\ 3x^{2}+2x-5=0\\ \\ 3x^{2}-3x+5x-5=0\\ \\ 3x\,(x-1)+5\,(x-1)=0\\ \\ (x-1)\,(3x+5)=0\\ \\ \begin{array}{rcl} x-1=0&\;\;\text{ ou }\;\;&3x+5=0\\ \\ x=1\;\;&\text{ ou }\;\;&x=-\dfrac{5}{3} \end{array}$


As abscissas dos pontos críticos são $x_{1}=1\;\text{ e }\;x_{2}=-\dfrac{5}{3}.$


$\bullet\;\;$ Para $x=x_{1}=1$, temos

$y_{1}=f(x_{1})\\ \\ y_{1}=f(1)\\ \\ y_{1}=(1)^{3}+(1)^{2}-5\cdot (1)-5\\ \\ y_{1}=1+1-5-5\\ \\ y_{1}=-8$


Logo, um ponto crítico é o ponto $(1,\,-8).$


$\bullet\;\;$ Para $x=x_{2}=-\dfrac{5}{3},$ temos

$y_{2}=f(x_{2})\\ \\ y_{2}=f\left(-\dfrac{5}{3} \right )\\ \\ \\ y_{2}=\left(-\dfrac{5}{3} \right )^{3}+\left(-\dfrac{5}{3} \right )^{2}-5\cdot \left(-\dfrac{5}{3} \right )-5\\ \\ \\ y_{2}=-\dfrac{125}{27}+\dfrac{25}{9}+\dfrac{25}{3}-5\\ \\ \\ y_{2}=\dfrac{-125+75+225-135}{27}\\ \\ y_{2}=\dfrac{40}{27}$


O outro ponto crítico é $\left(-\dfrac{5}{3},\,\dfrac{40}{27} \right ).$


b) Podemos utilizar o teste da segunda derivada nos pontos críticos.

Seja $x=x_{i}$ um ponto crítico de $f(x)$. Então, basta analisar o sinal da segunda derivada:

$(i)$ Se $f''(x_{i})>0,$ então $f(x)$ tem um mínimo local em $x=x_{i};$

$(ii)$ Se $f''(x_{i})<0,$ então $f(x)$ tem um máximo local em $x=x_{i};$

$(iii)$ Se $f''(x_{i})=0,$ nada se pode afirmar a princípio. Neste caso, $f(x)$, possivelmente, pode ter um ponto de inflexão em $x=x_{i}.$ Mas para ter certeza, devemos analisar a variação do sinal da segunda derivada em $x=x_{i}.$


$\bullet\;\;$ Para $x=x_{1}=1$, temos

$f''(1)=6\cdot (1)+2\\ \\ f''(1)=6+2\\ \\ f''(1)=8>0$


Logo, $f(x)$ tem um mínimo local em $x=1.$ Este ponto é $(1,\,-8).$


$\bullet\;\;$ Para $x=x_{2}=-\dfrac{5}{3},$ temos

$f''\left(-\dfrac{5}{3} \right )=^{2}\!\!\!\diagup\!\!\!\! 6\,\cdot \left(-\dfrac{5}{\diagup\!\!\!\! 3} \right )+2\\ \\ \\ f''\left(-\dfrac{5}{3} \right )=-10+2\\ \\ f''\left(-\dfrac{5}{3} \right )=-8<0$


Logo, $f(x)$ tem um máximo local em $x=x_{2}=-\dfrac{5}{3}.$ Este ponto é $\left(-\dfrac{5}{3},\,\dfrac{40}{27} \right ).$


c) Para encontrar os pontos de inflexão, temos que encontrar as raízes (zeros) da segunda derivada de $f(x)$ e analisar a variação do sinal de $f''(x)$ nas vizinhanças destas raízes:

Seja $x=a_{i}$ uma raiz da segunda derivada de $f(x).$ Se o sinal de $f''(x)$ variar na vizinhança de $x=a_{i},$ então $f(x)$ tem um ponto de inflexão em $x=a_{i}.$


$\bullet\;\;$ Encontrando as raízes de $f''(x)$:

$f''(x)=0\\ \\ 6x+2=0\\ \\ x=-\dfrac{1}{3}$


$\bullet\;\;$ Analisando o sinal da segunda derivada na vizinhança de $x=-\dfrac{1}{3}:$

$f''(x)=\left\{ \begin{array}{cc} 6x+2<0\text{,}&\text{ se }x<-\dfrac{1}{3}\\ \\ 6x+2>0\text{,}&\text{ se }x>-\dfrac{1}{3} \end{array} \right.$


Como a segunda derivada muda de sinal na vizinhança de $x=-\dfrac{1}{3},$ então $f(x)$ tem um ponto de inflexão em $x=-\dfrac{1}{3}.$


Encontrando a ordenada (coordenada $y$) deste ponto

$y=f\left(-\dfrac{1}{3} \right )\\ \\ \\ y=\left(-\dfrac{1}{3} \right )^{3}+\left(-\dfrac{1}{3} \right )^{2}-5\cdot\left(-\dfrac{1}{3} \right )-5\\ \\ \\ y=-\dfrac{1}{27}+\dfrac{1}{9}+\dfrac{5}{3}-5\\ \\ \\ y=\dfrac{-1+3+45-135}{27}\\ \\ \\ y=-\dfrac{88}{27}$


O único ponto de inflexão é $\left(-\dfrac{1}{3},\,-\dfrac{88}{27} \right ).$