Question

Seja f(x) = x³ + $\frac{1}{x}$
f '(x) no ponto x = 2 é igual a?

Answer 1

Resolução da questão, vejamos:

Encontrar a derivada da função, $\mathsf{f(x)=x^{3}+\dfrac{1}{x}}$ no ponto x = 2.

Pelo mais fácil entendimento, aconselho a fazer isto pela definição formal de derivada, vejamos:

$\mathsf{f'(x)=\displaystyle\lim_{h~\to~0}~\mathsf{\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}}}~~\mathsf{f(x)=x^{3}+\dfrac{1}{x}~\textsf{em}~x=2}}}}}}\\\\\\\\ \mathsf{f'(2)=\displaystyle\lim_{h~\to~0}~\dfrac{f(2+h)-f(2)}{h}}}\\\\\\\\ \mathsf{f'(2)=\displaystyle\lim_{h~\to~0}~\dfrac{\frac{1}{2+h}-\frac{1}{2}}{h}}}}\\\\\\\\ \mathsf{f'(2)=\displaystyle\lim_{h~\to~0}~\dfrac{\frac{2-2-h}{2(2+h)}}{h}}}\\\\\\\\ \mathsf{f'(2)=\displaystyle\lim_{h~\to~0}~\dfrac{-\diagup\!\!\!h}{2(2+h)\diagup\!\!\!h}}\\\\\\\\ \mathsf{f'(2)=\displaystyle\lim_{h~\to~0}~\dfrac{-1}{2~\cdot~2+0}}\\\\\\\\ \mathsf{f'(2)=\dfrac{-1}{2~\cdot~2}}}\\\\\\\\ \Large\boxed{\boxed{\boxed{\mathbf{f'(2)=\dfrac{-1}{4}}}}}}}}}}}}}~~\checknark}}}$

Ou seja, a derivada da função $\mathsf{f(x)=x^{3}+\frac{1}{x}}}$ no ponto x = 2 é igual a $\mathsf{\frac{-1}{4}}}}}}$

Espero que te ajude. (^.^)

Answer 2

f(x) = x3 +  1
                  x

f(x) =  x4 + 1
               x

u = x3 + 1 ==> u' = 3x2

v = x ==> v' = 1

f(x)' = u'.v - u.v' ==> f(x)' = 3x2.x - x3.1 ==> f(x)' = 3x3 - x3
                v2                               x2                              x2

f(x)' = 2x3 ==> f(x)' = 2x
            x2
=========================================
f(x)' ====> x = 2

f(x)' = 2x ==> f(x)' = 2.2 ==> f(x)' = 4