Question

Seja f(x)=x(x-2)/3,onde x e um número real
Seja g(x)=in[f(x)],sendo in o logaritmo natural o intervalo positivo onde g(x)<0 e:

Answer 1

Dada a inequação,temos:

$g(x) = ln(f(x)) \\ \\ g(x) = ln( \frac{x(x - 2)}{3} )$
Temos assim,que:

$g(x) < 0 \\ \\ ln( \frac{x(x - 2)}{3} ) < 0 \\ \\ \frac{ {x}^{2} - 2x }{3} < {e}^{0} \\ \\ {x}^{2} - 2x < 3 \\ \\ {x}^{2} - 2x - 3 < 0$
Como é uma equação de segundo grau,temos:

$d = 4 - 4.(1).( - 3) \\ \\ d = 4 + 12 \\ \\ d = 16$
Encontrando as raízes:

$x1 = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3 \\ \\ x2 = \frac{2 - 4}{2} = \frac{ - 2}{2} = - 1$
Nesse caso,temos que fazer o estudo de sinal.Nossa função tem concavidade voltada para cima,e os valores para os quais o X tem um valor menor que 0 estão entre o intervalo das raízes,logo nossa solução será:

$s = (- 1 < x < 3)$
Espero ter ajudado.