Question

Seja f(x) = √x+4 -2/x. então calculando o lim x→0 f(x)

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{\underset{x\rightarrow0}{\lim}~\dfrac{\sqrt{x+4}-2}{x}=\dfrac{1}{4}~~\checkmark}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa tarde.

Devemos resolver o seguinte limite: $\underset{x\rightarrow0}{\lim}~\dfrac{\sqrt{x+4}-2}{x}$. Utilizaremos a Regra de l'Hôpital.

Seja o limite da função racional $\underset{x\rightarrow~c}{\lim}~\dfrac{f(x)}{g(x)}=L$, tal que $f(x)$ e $g(x)$ sejam diferenciáveis e logo, contínuas em $c$. A regra de l'Hôpital diz que:

$\underset{x\rightarrow~c}{\lim}~\dfrac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\rightarrow~c}{\lim}~\dfrac{f'(x)}{g'(x)}=\dfrac{f'(c)}{g'(c)}=L$.

Utilizamos esta regra quando nos deparamos com os casos $\dfrac{0}{0}$ ou $\dfrac{\infty}{\infty}$.

Então, devemos relembrar algumas regras de derivação:

• A derivada de uma soma de funções é igual a soma das derivadas das funções, ou seja: $(f(x)\pm g(x))'=f'(x)\pm g'(x)$.
• A derivada de uma função composta é calculada pela regra da cadeia, dada por: $(f(g(x))'=g'(x)\cdot f'(g(x))$.
• A derivada de uma constante é igual a zero.
• A derivada de uma potência é dada por: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.

Aplique a regra de l'Hôpital.

$\underset{x\rightarrow0}{\lim}~\dfrac{(\sqrt{x+4}-2)'}{(x)'}$

No numerador, aplique a primeira regra de derivação discutida acima. No denominador, aplique a quarta regra.

$\underset{x\rightarrow0}{\lim}~\dfrac{(\sqrt{x+4})'-(2)'}{1\cdot x^{1-1}}$

Some os valores no expoente e aplique a segunda e terceira regras de derivação no numerador.

$\underset{x\rightarrow0}{\lim}~\dfrac{\dfrac{(x+4)'}{2\sqrt{x+4}}-0}{1\cdot x^0}$

Some os valores e substitua $x^0=1$

$\underset{x\rightarrow0}{\lim}~\dfrac{(x+4)'}{2\sqrt{x+4}}$

Aplique mais uma vez as primeira e terceira regras no numerador

$\underset{x\rightarrow0}{\lim}~\dfrac{(x)'+(4)'}{2\sqrt{x+4}}\\\\\\ \underset{x\rightarrow0}{\lim}~\dfrac{1}{2\sqrt{x+4}}$

Como dito anteriormente, $\underset{x\rightarrow~c}{\lim}~\dfrac{f'(x)}{g'(x)}=\dfrac{f'(c)}{g'(c)}$, logo:

$\underset{x\rightarrow0}{\lim}~\dfrac{1}{2\sqrt{x+4}}=\dfrac{1}{2\sqrt{0+4}}$

Some os valores no radicando

$\dfrac{1}{2\sqrt{4}}$

Sabendo que $4=2^2$, temos

$\dfrac{1}{2\cdot 2}$

Multiplique os valores

$\dfrac{1}{4}$

Este é o valor deste limite.