Matemática, perguntado por mitchellhagata99, 9 meses atrás

Seja f(x) =
(
x + 2 se x < 3;
2; se x 3
(a) A func~ao f e contnua em x = 3? Por qu^e?
(b) A func~ao f e diferenciavel em x = 3? Justi que.

Anexos:

Soluções para a tarefa

Respondido por Nefertitii
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Temos a seguinte função:

f(x) =  \begin{cases}x + 2,\:  \: se \:  \: x &lt; 3 \\ 2, \:  \: se \: x \geqslant 3\\  \end{cases}

A partir dessa função a questão indaga dois questionamentos, que são:

(a) A função f é contnua em x = 3? Por quê?

Vamos analisar primeiro a continuidade dessa função. Para realizar esse cálculo vamos lembrar das condições para uma função ser contínua:

1) \: f(x) \to definida \\ 2) \lim_{x\to a^{+}}f(x)=\lim_{x\to a^{-}}f(x) \\ 3) \: f(x) = \lim_{x\to a^{}}f(x)

Seguindo esse roteiro, vamos encontrar o motivo da função ser contínua em x = 3.

  • 1) Definição:

Por a função conter o sinal de ≥, quer dizer então que em algum momento ela pode ser igual aquele valor, ou seja, a função é definida:

f(3) = x + 2 \longrightarrow f(3) = 5

  • 2) Limites laterais:

Outra condição é ter os limites laterais iguais, isto é, o limite bilateral deve existir. Calculando:

\lim_{x\to 3^{+}}f(x)=\lim_{x\to 3^{-}}f(x) \\

Quando "x" tende a valores maiores que 3 ( < 3) devemos usar a função 2, já quando "x" tende a valores menores que 3 ( > 3 ), devemos usar a outra função que é x + 2, então:

\lim_{x\to3^{+}}2=\lim_{x\to 3^{-}}x + 2   \\ 2 = 3 + 2 \\ 2  \neq5Só por aqui já podemos tirar o motivo da função na ser contínua em x = 3, pois para ele possuir esse caráter ela deve cumprir as três condições.

(b) A função f é diferenciavel em x = 3? Justifi que.

Se você bem lembra dos "teoremas", um deles diz que para a função ser diferenciável, ela deve ser contínua no tal ponto, portanto já podemos dizer que ela não é diferenciável. Para provar através de cálculo, vamos realizá-lo:

f_{+}'(x) = f_{-}'(x) \\  \\ \lim_{\Delta x\to 0^{+}}\frac{f(\Delta x + x) - f(x)}{\Delta x}  = \lim_{\Delta x\to 0^{-}}\frac{f(\Delta x + x) - f(x)}{\Delta x}  \\  \\ \lim_{\Delta x\to 0^{+}}\frac{2- 2}{\Delta x}  = \lim_{\Delta x\to 0^{-}}\frac{\Delta x + x + 2- x  - 2}{\Delta x}  \\  \\ 0   \neq 1

Espero ter ajudado


mitchellhagata99: Chegouu?
Nefertitii: ainda não
mitchellhagata99: humlldeajudante@gmail. com esse que é né as menasagens n podem ser entregue
Nefertitii: osh, eu ajudei umas duas pessoas que mandaram e-mail pra mim
Nefertitii: me fala o seu que eu tento mandar uma mensagem, aí você vai saber meu email
mitchellhagata99: mitchellhagata99@gmail .com
Nefertitii: pronto
Nefertitii: Você poderia postar essas questões no brainly
Nefertitii: seria ainda mais fácil pra mim
Nefertitii: C:
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