Seja f(x) =
(
x + 2 se x < 3;
2; se x 3
(a) A func~ao f e contnua em x = 3? Por qu^e?
(b) A func~ao f e diferenciavel em x = 3? Justi que.
Soluções para a tarefa
Temos a seguinte função:
A partir dessa função a questão indaga dois questionamentos, que são:
(a) A função f é contnua em x = 3? Por quê?
Vamos analisar primeiro a continuidade dessa função. Para realizar esse cálculo vamos lembrar das condições para uma função ser contínua:
Seguindo esse roteiro, vamos encontrar o motivo da função ser contínua em x = 3.
- 1) Definição:
Por a função conter o sinal de ≥, quer dizer então que em algum momento ela pode ser igual aquele valor, ou seja, a função é definida:
- 2) Limites laterais:
Outra condição é ter os limites laterais iguais, isto é, o limite bilateral deve existir. Calculando:
Quando "x" tende a valores maiores que 3 ( < 3) devemos usar a função 2, já quando "x" tende a valores menores que 3 ( > 3 ), devemos usar a outra função que é x + 2, então:
Só por aqui já podemos tirar o motivo da função na ser contínua em x = 3, pois para ele possuir esse caráter ela deve cumprir as três condições.
(b) A função f é diferenciavel em x = 3? Justifi que.
Se você bem lembra dos "teoremas", um deles diz que para a função ser diferenciável, ela deve ser contínua no tal ponto, portanto já podemos dizer que ela não é diferenciável. Para provar através de cálculo, vamos realizá-lo:
Espero ter ajudado