Question

Seja f ( x ) = x 2 , com 0 ≤ x ≤ 2 Determine o volume do sólido obtido pela revolução do gráfico de f(x) em torno do eixo x.

Answer 1

Temos a seguinte função e um determinado intervalo, dados por:

$f(x) = x {}^{2} \longleftrightarrow 0 \leqslant x \leqslant 2$

Se fizermos o desenho dessa função, podemos observar que a mesma trata-se de uma parábola com o vértice na origem. A queuao pede para rotacionarmos esse desenho formado, em relação ao eixo "x" seguindo o intervalo dado.

• O desenho da rotação estará anexado na resposta.

Para encontrar o volume desse sólido gerado, devemos usar o método dos discos, que consiste em dividir o sólido em infinitos cilindros pequenos. Como sabemos o volume de um cilindro é dado por $V = \pi\:.r^{2}.h$, mas como se trata de um cilindro muito pequeno, podemos escrever como $dV = \pi \:.\:r^{2}\:.\:h$. Agora vamos aplicar a integral nesse volume, pois esse artifício realiza a soma infinitesimal e se somarmos todos eles, encontraremos o volume total do sólido.

$\sf dv = \pi. \: r {}^{2} \: . \: h \longleftrightarrow \int dv = \int \pi \: . \: r {}^{2} \: . \: h\longleftrightarrow v = \int \pi \: . \: r {}^{2} \: . \: h$

Pela foto que anexei, você pode ver que a função é dada pelo raio do cilindro e a altura é a diferencial de "x", ou seja, uma pequena parte de "x", aplicando essas informações:

$\sf v = \int \pi \: . \: [f(x)] {}^{2} \: . \: dx\longleftrightarrow v = \pi \int \limits_{a}^{b}[f(x)] {}^{2} \: . \: dx$

Coloquei os limites de integração, pois o volume é gerado a partir de um intervalo e esse intervalo é justamente os limites. Portanto essa será a fórmula que usaremos para encontrar o volume dessa rotação, substituindo os dados:

$\sf v = \pi \int \limits_{a}^{b}[f(x)] {}^{2} \: . \: dx \longleftrightarrow v = \pi.\int \limits_{0}^{2}[x {}^{2} ] {}^{2} \: . \: dx\longleftrightarrow v =\pi \int \limits_{0}^{2}x {}^{4} \: . \: dx$

Para integrar aquela função, devemos lembrar da seguinte regra da potência para integrais:

$\boxed{ \boxed{ \sf \int x {}^{n} dx = \frac{x {}^{n + 1} }{n + 1} }}$

Aplicando essa regra:

$\sf v = \pi \int \limits_{0}^{2}x {}^{4} \: . \: dx \longleftrightarrow v = \pi. \frac{x {}^{4 + 1} }{4 + 1} \longleftrightarrow \boxed{ \boxed{ \sf v = \frac{\pi.x {}^{5} }{5} }}$

Para finalizar, teremos que fazer outra aplicação, só que dessa vez é o chamado Teorema fundamental do cálculo, dado por:

$\sf \int \limits_{a}^{b}[f(x)] dx = F(b)-F(a)\longleftrightarrow \bigg |_{a}^{b}$

Aplicando o tal Teorema:

$\sf v = \frac{\pi.(2) {}^{5} }{5} - \frac{\pi.(0) {}^{5} }{5} \\ \\ \boxed{ \boxed{ \sf v = \frac{32\pi}{5} \: u.v}}$

Espero ter ajudado