Question

seja f(x) uma função quadratica tal que f(x)= x²+6x+3. determine o valor da ordenada do vertice e diga se ele e um ponto de maximo ou mínimo da função.
(A) O vértice é um ponto máximo e sua ordenada vale 3.

(B) O vértice é um ponto mínimo e sua ordenada vale 12.

(C) O vértice é um ponto máximo e sua ordenada vale 12.

(D) O vértice é um ponto mínimo e sua ordenada vale 3.

(E) O vértice é um ponto mínimo e sua ordenada vale -12.

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Answer 1

Para encontrar as coordenadas do vértice podemos usar a noção de derivada de uma função.

A saber: Os vértices de uma função são máximos/mínimos da mesma e os máximos/mínimos são sempre zeros da 1ª derivada da função que estamos a estudar.

Depois de determinar os zeros da 1ª derivada, podemos analizar o seu sinal e determinar a monotonia e os extremos da função em estudo.

    $f'(x)=(x^2+6x+3)'\Leftrightarrow\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;f'(x)=0\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow f'(x)=(x^2)'+(6x)'+(3)'\Leftrightarrow\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Leftrightarrow2x+6=0\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow f'(x)=2x+6+0\Leftrightarrow\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Leftrightarrow2x=-6\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow f'(x)=2x+6\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Leftrightarrow x=-3$

 x   |-∞     | -3 |     ∞          Conclui-se assim que o ponto de

f'(x) |    -    | 0 |    +            abcissa -3 é o vértice da parábola.

f(x) |   $\searrow$   |min|  $\nearrow$

    $f(-3)=(-3)^2+6\times(-3)+3\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow f(-3)=9-18+3\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow f(-3)=-9+3\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow f(-3)=-6$

Assim concluimos que o vértice da função é um mínimo e a sua ordenada vale -6, pelo que nenhuma das opções está correta.

Deixo em anexo o gráfico da função que comprova estes cálculos.

Resposta: Nenhuma das opções.

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