Question

Seja f(x) = sen x + 2x . cos x


A derivada de $f (x) e f'(\frac{\pi }{2} )$

são respectivamente:


Alternativa 1:

cosx - 2x.senx e π


Alternativa 2:

cosx - 2x.senx e -2


Alternativa 3:

3.cosx - 2x. senx e π


Alternativa 4:

3.cosx - 2x.senx e π


Alternativa 5:

3.cosx - 2x.senx e -π

Answer 1

Para nos ajudar a resolver esta questão, temos várias regras de derivação, das quais devemos saber pelo menos as seguintes:

Sejam  $a,b\in\mathbb{R}$  e  $u$  e  $v$  expressões em x:

• $a'=0$

• $\left(ax^b\right)'=a\times b\times x^{b-1}$

• $\left(u+v\right)'=u'+v'$

• $\left(u\times v\right)'=u'\times v+u\times v'$

• $\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'\times v-u\times v'}{v^2}$

• $\left(u^a\right)'=a\times x^{b-1}\times u'$

• $\left(e^u\right)'=u'\times e^u$

• $\left(\ln u\right)'=\dfrac{u'}{u}$

• $\left(\log_a u\right)'=\dfrac{u'}{u\times\ln a}$

• $\left(\sin u\right)'=u'\times\cos u$

• $\left(\cos u\right)'=-u'\times\sin u$

• $\left(\tan u\right)'=\dfrac{u'}{\cos^2 u}$

Com estas propiedades em mente, passemos à resolução do exercício.

Seja  $f(x)=\sin x+2x\cos x$  e tenha-se  $f'(x)$  como a derivada de  $f$ :

    $f'(x)=(\sin x+2x\cos x)'\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow f'(x)=(\sin x)'+(2x\cos x)'\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow f'(x)=\cos x+[\:(2x)'\times\cos x+2x\times(\cos x)'\:]\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow f'(x)=\cos x+[\:2\cos x+2x\times(-\sin x)\:]\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow f'(x)=\cos x+2\cos x-2x\sin x\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow f'(x)=3\cos x-2x\sin x$

    $f'\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=3\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)-2\times\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\times\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow f'\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=3\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)-\left(\dfrac{2\times\pi}{2}\right)\times\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow f'\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=3\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)-\pi\times\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow f'\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=3\times0-\pi\times1\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow f'\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=0-\pi\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow f'\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=-\pi$

Resposta:  Alternativa 5

Podes ver mais exercícios sobre derivadas em:

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Em anexo deixo outra forma de descobrir a expressão da função derivada, o chamado método da derivada por definição, que podes tentar usar mas que pode ser um pouco mais trabalhoso e que requer conhecimentos sobre resolução de limites.

Deixo ainda em anexo uma Tabela Trigonométrica para que relembres os valores mais comuns das funções mais básicas.