Question

Seja f(x)=(-cos⁡ 2x,sen x) com x∈R. Determine a equação da reta tangente à trajetória de F no ponto F(0).

Answer 1

Seja $\vec{f}(x) = (-\cos(2x), \sin x), \textrm{ com } x \in \mathbb{R}.$

O vetor tangente é dado pela derivada:

$\dfrac{\textrm{d}\vec{f}}{\textrm{d}x}(x) = \dfrac{\textrm{d}}{\textrm{d}x}(-\cos(2x), \sin x) = (2\sin(2x), \cos x).$

Em $x=0$, o vetor é:

$\dfrac{\textrm{d}\vec{f}}{\textrm{d}x}(0) = (2\sin(2 \times 0), \cos 0) = (0,1).$

Como tal, a reta tangente tem vetor diretor $\vec{v} = (0,1)$ e passa no ponto:

$\vec{f}(0) = (-\cos(2 \times 0), \sin 0) = (-1, 0).$

Assim, uma equação vetorial da reta tangente é:

$(x,y) = (-1, 0) + t(0, 1) = (-1, t), \textrm{ com } t \in \mathbb{R},$

ou ainda:

$\begin{cases}x = -1 \\ y = t\end{cases}.$

Fica assim claro que esta reta é a reta vertical de equação $x=-1$.

O resultado encontra-se representado na figura em anexo, estando o ponto $\vec{f}(0) = (-1,0)$ representado a azul, a trajetória a verde e a reta tangente a preto.