Question

Seja f(x) = a + 2^bx+c, em que a, b e c são números reais. A imagem de f é a semirreta }-1, [infinity][ e o gráfico de f intercepta os eixos coordenados nos pontos (1, 0) e (0, -3/4). Então, o produto abc vale a) 4 b) 2 c) 0 d) -2 e) -4

Answer 1

O produto abc vale 4. Letra a).

A função da questão é:

$f(x) = a + 2^{bx+ c}$

E sua imagem ]-1, ∞[.

Analisando a função, vemos que para valores extremamente negativos de x (ou seja, quando x vai tendendo a - ∞) vemos que o termo $2^{bx + c}$ vai tendendo para valores bem próximos de 0. Nessa situação restaria apenas o valor a. Colocando de outra forma, teríamos:

$\lim_{x \to - \infty} a + 2^{bx+ c} = a$

Esse valor, para quando x tende a - ∞, é o extremo esquerdo do conjunto imagem de f(x). Deste modo, temos que:

a = -1 (menor valor do conjunto imagem ]-1, ∞[ fornecido).

Agora vamos analisar os dois pontos fornecidos e encontrar b e c.

Para o ponto (1,0) temos:

$f(1) = 0\\\\- 1 + 2^{b + c} = 0\\\\2^{b + c} = 1 = 2^0\\\\b + c = 0$

Logo achamos a primeira relação:

b + c = 0

b = - c

Agora vamos ao segundo ponto fornecido.

Para o ponto (0, -3/4) teremos:

$f(0) = -3/4\\\\-1 + 2^{0 + c} = -3/4\\\\-1 + 2^c = -3/4\\\\2^c = 1 - 3/4 = 1/4 = 1/2^2 = 2^{-2}\\\\c = -2$

Logo, substituindo na expressão que encontramos anteriormente:

b = - c = - (- 2) = 2

Portanto, o produto abc será:

abc = (-1)*2*(-2) = 4

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