Question

Seja f(x) = 3cosx + 2 senx, Qual o valor máximo da função

Answer 1

Encontrar o valor máximo da função

     $f(x)=3\cos x+2\,\mathrm{sen\,}x$


Podemos reescrever a função acima como

     $f(x)=R\cos (x+\varphi)$

para algum  R > 0  e  algum ângulo  φ.


Expanda o cosseno da soma nesta última expressão:

     $f(x)=R\cos (x+\varphi)\\\\ f(x)=R\cdot (\cos x\cos\varphi-\mathrm{sen\,}x\,\mathrm{sen\,}\varphi)\\\\ f(x)=(R\cos\varphi)\cos x+(-R\,\mathrm{sen\,}\varphi)\,\mathrm{sen\,}x$


Igualando com a lei da função dada:

     $3\cos x+2\,\mathrm{sen\,}x=(R\cos\varphi)\cos x+(-R\,\mathrm{sen\,}\varphi)\,\mathrm{sen\,}x\\\\\\ \left\{\! \begin{array}{r} R\cos\varphi=3\\\\ -R\,\mathrm{sen\,}\varphi=2 \end{array} \right.$


Elevando os dois lados das equações ao quadrado:

     $\left\{\! \begin{array}{r} R^2\cos^2\varphi=9\\\\ R^2\,\mathrm{sen^2\,}\varphi=4 \end{array} \right.$


Somando membro a membro, temos

     $R^2\cos^2\varphi+R^2\,\mathrm{sen^2\,}\varphi=9+4\\\\ R^2\cdot (\cos^2\varphi+\mathrm{sen^2\,}\varphi)=13\\\\ R^2=13\\\\ R=\sqrt{13}$


E φ  será algum ângulo, tal que

     $\left\{\! \begin{array}{r} R\cos\varphi=3\\\\ -R\,\mathrm{sen\,}\varphi=2 \end{array} \right.\\\\\\\\ \left\{\! \begin{array}{l} \cos\varphi=\dfrac{3}{\sqrt{13}}\\\\ \mathrm{sen\,}\varphi=-\,\dfrac{2}{\sqrt{13}}\end{array}\right.$


Dessa forma, podemos reescrever a lei da função como

     $f(x)=\sqrt{13}\cos(x+\varphi)$


e o valor máximo da função ocorre quando  $\cos(x+\varphi)=1:$

     $f_{\mathrm{max}}=\sqrt{13}\quad\longleftarrow\quad\textsf{resposta.}$


Bons estudos! :-)