Question

Seja f(x)=2+|5x-1|.calcule se existir e esboce o gráfico de a)lim de f(x) quando x tende a 1/5+.?

Answer 1

Resposta:

Seja $f$ uma função real definida por:

$f(x) = 2+ \left| 5x - 1 \right|.$

Como a expressão $5x - 1$ está em valor absoluto, devemos considerar duas possibilidades:

$i) \: 5x - 1 \geq 0 \Leftrightarrow 5x \geq 1 \Leftrightarrow x \geq \frac{1}{5}\\\\\Longrightarrow \left| 5x -1 \right| = 5x -1\\\\\Longrightarrow f(x) = 2 + 5x - 1 = 5x +1;$

$ii) \: 5x - 1 < 0 \Leftrightarrow 5x < 1 \Leftrightarrow x < \frac{1}{5}\\\\\Longrightarrow \left| 5x -1 \right| = -\left(5x - 1 \right) = -5x +1\\\\\Longrightarrow f(x) = 2 - 5x + 1 = -5x +3.$

Portanto, a função $f$ é definida por meio de duas sentenças abertas, a saber:

$f(x) = \left\{^{5x + 1 \: \:\:\:\:\:se \:\: x \geq \frac{1}{5}}_{-5x + 3\:\:\:se x < \frac{1}{5} }$

Verifiquemos se $\lim_{x \to \frac{1}{5}} f(x)$ existe.

Verificando pela direita:

$\lim_{x \to \frac{1}{5}^+} f(x)\\\\= 5 \cdot \frac{1}{5} + 1\\\\= 2.$

Verificando pela esquerda:

$\lim_{x \to \frac{1}{5}^-} f(x)\\\\= -5 \cdot \frac{1}{5} + 3\\\\= 2.$

Portanto, como ambos os limites laterais existem e são idênticos, temos que:

$\boxed{\lim_{x \to \frac{1}{5}} f(x) = 2.}$