Question

Seja f uma função real tal que f(x-1/x) = x-1, para todo x real nao nulo. Sendo 0<θ<π/2 , o valor de f(sen²θ) é:
*Foto anexo

Answer 1

Dado que

     $\mathsf{f\!\left(\dfrac{x-1}{x}\right)=x-1}$

para todo  $\mathsf{x\ne 0,}$  encontrar  $\mathsf{f(sen^2\,\theta).}$

—————

O jeito mais prático será achar um  x  adequado, de modo que

     $\mathsf{\dfrac{x-1}{x}=sen^2\,\theta}$


Resolvendo a equação para  x:

     $\mathsf{\dfrac{x-1}{x}=sen^2\,\theta}\\\\\\ \mathsf{x-1=x\cdot sen^2\,\theta}\\\\\\ \mathsf{x-x\cdot sen^2\,\theta=1}\\\\\\ \mathsf{x\cdot (1-sen^2\,\theta)=1}\\\\\\ \mathsf{x\cdot cos^2\theta=1}\\\\\\ \mathsf{x=\dfrac{1}{cos^2\,\theta}}\\\\\\ \mathsf{x=sec^2\,\theta}$


Então,  para  $\mathsf{x=sec^2\,\theta,}$  temos

     $\mathsf{sen^2\,\theta=\dfrac{x-1}{x}}$


Computando  f,

     $\mathsf{f(sen^2\,\theta)=f\!\left(\dfrac{x-1}{x}\right)=x-1}\\\\\\ \mathsf{f(sen^2\,\theta)=sec^2\,\theta-1}$

     $\boxed{\begin{array}{c}\mathsf{f(sen^2\,\theta)=tg^2\,\theta}\end{array}}$   <———    esta é a resposta.


Bons estudos! :-)

Answer 2

$f(\frac{x-1}{x})=x-1\\f(1-\frac{1}{x})=x-1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (x\neq0)$

Vamos encontrar x, manipulando a função definida pela seguinte maneira.

$f(sen^2\theta)=f(1-cos^2\theta)=f(1-\frac{1}{sec^2\theta})$

Relacionando

$f(1-\frac{1}{x})=f(1-\frac{1}{sec^2\theta})$

Temos que $x=sec^2\theta$

Assim:

$f(1-\frac{1}{x})=x-1\\f(1-\frac{1}{sec^2\theta})=sec^2\theta-1\\\\\boxed{f(sen^2\theta)=tan^2\theta}$

A resposta correta é a alternativa C

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