Matemática, perguntado por aragaodelins50, 7 meses atrás

Seja f uma função real. Supondo que lim x→b f(x)−f(b) x−b = M, calcule limy→0 f(b+y)−f(b−y)y.

Anexos:

Soluções para a tarefa

Respondido por Nitoryu

Queremos resolver o seguinte limite cujo valor não pode ser previsto (indeterminado) desde o primeiro momento:

$\qquad~~\boxed{\sf \phi~=~\underset{y\to0}{\lim}~\dfrac{f\left(b+y\right)-f\left(b-y\right)}{y}}\qquad~~$

Observe que calcular o valor desse limite será bastante complexo, por isso o problema nos dá como ajuda um segundo limite que já tem solução, isto é:

$\qquad~~\boxed{\sf \underset{x\to b}{\lim}~\dfrac{f\left(x\right)-f\left(b\right)}{x-b}~=~M}\qquad~~$

Podemos observar que esse limite não é nada parecido com o limite que queremos resolver, portanto é possível pensar que esse limite não ajudará muito na solução do nosso limite, mas você verá que esse limite serviu ajuda muito, pois teremos que manipular o limite que queremos resolver de forma que ambos estejam relacionados, mas para isso devemos aplicar algumas propriedades nos limites e frações. Vamos começar a somar no numerador f(b) mas para não alterar a igualdade do nosso limite vamos subtrair no numerador f(b) de tal forma que eles se cancelem.

$\sf \phi~=~\underset{y\to0}{\lim}~\dfrac{f\left(b+y\right)-f(b)-f\left(b-y\right)+f(b)}{y}\\\\\\\sf \phi~=~\underset{y\to0}{\lim}~\dfrac{f\left(b+y\right)-f(b)}{y}+\dfrac{-f\left(b-y\right)+f(b)}{y}\\\\\\ \sf\phi~=~\underset{y\to0}{\lim}~\dfrac{f\left(b+y\right)-f(b)}{y}~+~\underset{y\to0}{\lim}~\dfrac{-f\left(b-y\right)+f(b)}{y}\\\\\\ \sf \phi~=~\phi_1~+~\phi_2$

Se manipularmos de maneira excelente nosso limite o que vamos obter dois novos limites muito mais fáceis de resolver esses dois limites resolvi chamar $\sf\phi_1$ e $\sf\phi_2$ a soma de seus resultados nos daria o resultado do limite original, ou seja, sua soma é igual a $\sf \phi$ . Primeiro vamos resolver o limite $\sf \phi_1$ para poder resolver esse limite o que faremos é aplicar uma substituição de variável isso para tornar esse limite o mais próximo possível do limite que nos dá nosso problema como uma ajuda, pois vamos dizer que o denominador de ambos os limites são iguais, ou seja, que y = x - b e, portanto, temos:

$\sf y~=~ x - b\qquad\to\qquad \boxed{\sf y + b ~=~ x}\\\\\\\sf 0 + b ~= ~x\qquad \to\qquad\boxed{\sf b~ =~ x}$

Essas são como nossas relações de recorrência ou algo assim, essas relações nos ajudarão a resolver o limite de uma maneira menos complexa se aplicarmos essas relações o limite $\sf\phi_1$ se torna o seguinte limite:

$\sf \phi_1~=~\underset{y\to0}{\lim}~\dfrac{f\left(b+y\right)-f(b)}{y} \\\\\\\sf \phi_1~=~\underset{y\to0}{\lim}~\dfrac{f\left(x\right)-f(b)}{x-b}\\\\\\ \sf \phi_1~=~\underset{x\to b}{\lim}~\dfrac{f\left(x\right)-f(b)}{x-b}\\\\\\\boxed{\sf\phi_1~=~ M}$

Graças a esta substituição conseguimos encontrar a solução do limite $\sf\phi_1$ pois este limite está relacionado com o limite que o problema nos dá como ajuda. Ainda não obtivemos a solução do limite $\sf\phi$ pois só precisamos resolver o limite $\sf \phi_2$ para encontrar a solução deste limite que usaremos a mesma racionalização que usamos para resolver o limite $\sf \phi_2$ apenas com a pequena diferencial que usaremos a seguinte substituição - y = - b + z.

$\sf -y ~=~ -b + z\qquad\to\qquad \boxed{\sf -y+b~=~z}\\\\\\ \sf-0+b~=~x\qquad\to\qquad \boxed{\sf b ~=~z}$

Vamos usar essas relações para resolver o limite $\sf \phi_2$ mas primeiro vamos manipular nosso limite de forma que fique entendido como vamos aplicar a substituição.

$\sf \phi_2~=~\underset{y\to0}{\lim}~\dfrac{-f\left(b-y\right)+f(b)}{y} \\\\\\\sf \phi_2~=~\underset{y\to0}{\lim}~\dfrac{(-1)\cdot\left[f\left(b-y\right)-f(b)\right]}{y}\\\\\\\sf \phi_2~=~\underset{y\to0}{\lim}~\dfrac{f(-y+b)-f(b)}{-y} \\\\\\\sf\phi_2~=~\underset{z\to b}{\lim}~\dfrac{f(z)-f(b)}{-b+z}\\\\\\\sf\phi_2~=~\underset{z\to b}{\lim}~\dfrac{f(z)-f(b)}{z-b}\\\\\\\boxed{\sf \phi_2~=~M}$

Aparentemente já obtemos o resultado de ambos os limites, então o resultado do nosso limite original é igual a soma desses dois resultados, então fazendo a soma temos:

$\sf \phi~=~M~+~M\\\\\\\boxed{\sf \phi~=~2M}\quad\longleftarrow\quad\mathsf{Resposta.}$