Question

Seja f uma função real, supondo que lim x=b f(x)-f(b)/x-b=M, calcule lim p=0 f (b-p)-f(b-p)/p

A) M
B) -M
C) 2M
D) -2M
E) 0

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Answer 1

Utilizando substituição de variaveis em limites, temos que o nosso limite desejado é de -M, Letra B.

Explicação passo-a-passo:

Então nos foi dado o seguinte limite:

$lim_{x \rightarrow b}\frac{f(x)-f(b)}{x-b}=M$

E queremos saber o seguinte limite:

$lim_{p \rightarrow o}\frac{f(b-p)-f(b)}{p}$

Vamos substituir a variavel da seguinte forma:

$p=b-x$

Então o limite se transforma em:

$lim_{p \rightarrow 0}=lim_{x \rightarrow b}$

Assim nosso limite fica:

$lim_{p \rightarrow o}\frac{f(b-p)-f(b)}{p}$

$lim_{x \rightarrow b}\frac{f(x)-f(b)}{b-x}$

Agora vamos inverter a parte de baixo, trocando o sinal de toda a equação:

$lim_{x \rightarrow b}\frac{f(x)-f(b)}{b-x}$

$lim_{x \rightarrow b}-\frac{f(x)-f(b)}{x-b}$

Agora note que este é exatamente o mesmo limite que nos foi dado, porém com sinal trocado, logo:

$lim_{x \rightarrow b}-\frac{f(x)-f(b)}{x-b}=-M$

Assim:

$lim_{p \rightarrow o}\frac{f(b-p)-f(b)}{p}=-M$

Assim temos que o nosso limite desejado é de -M, Letra B.

Answer 2

De um a forma carteada, pode-se dizer que f(x) = x + 2 ( é uma função real qualquer )

vamos ao limite

$\lim_{x \to \ b} f(x)-f(b)/(x-b)$ = M

substituindo

{x + 2 - ( b - 2)}/(x-b) =

(x-b)/(x-b) = 1   = M

M = 1

agora, vamos usar o outro limite e achar alguma relação com M

$\lim_{p \to \ 0} [f (b+p)-f(b-p)]/p$

f(b+p) = b+ p + 2

f(b-p) = b - p + 2

substituindo

[b+p+2- ( b-p+2)]/p

2p/p = 2

se M = 1 então 2 = 2.M

resposta letra C.