Question

seja f uma função real de variável real que satisfaça a condição: f(x) + 2f ( 200/x) = 3x para x > 0. O valor de f(2) é igual a ?

Answer 1

Sabemos que $f$ satisfaz a condição:

$f(x) + 2 f\left(\dfrac{200}{x}\right) = 3x, \quad\textrm{para } x > 0.$

Começamos por substituir $x = 2$ na condição apresentada:

$f(2) + 2 f\left(\dfrac{200}{2}\right) = 3 \times 2 \iff f(2) + 2f(100) = 6.$

Substituímos agora $x = 100$ na mesma condição:

$f(100) + 2 f\left(\dfrac{200}{100}\right) = 3 \times 100 \iff f(100) + 2f(2) = 300.$

Multiplicamos a última expressão por $-2$:

$f(100) + 2f(2) = 300 \iff -2f(100) - 4f(2) = -600.$

Somamos agora $f(2) + 2f(100) = 6$ a esta expressão, membro a membro:

$-2f(100) - 4f(2) + f(2) + 2f(100) = -600 + 6 \iff -3f(2) = -594 \iff\\\\\iff f(2) = \dfrac{594}{3} \iff f(2) = 198.$

Obtemos então a resposta:

$\boxed{f(2) = 198}.$

Na verdade, poderíamos obter uma expressão para $f(x)$, para $x > 0$. Para tal, utilizamos a condição inicial substituindo $x \to \frac{200}{x}$:

$f\left(\dfrac{200}{x}\right) + 2 f\left(\dfrac{200}{\frac{200}{x}}\right) = 3 \times \dfrac{200}{x} \iff f\left(\dfrac{200}{x}\right) + 2 f(x) = \dfrac{600}{x} \iff \\\\ \iff f\left(\dfrac{200}{x}\right) = \dfrac{600}{x} - 2 f(x).$

Substituindo a expressão anterior na expressão inicial, vem:

$f(x) + 2\left[\dfrac{600}{x} - 2 f(x)\right] = 3x \iff f(x) + \dfrac{1200}{x} - 4f(x) = 3x \iff \\\\\iff -3f(x) = 3x - \dfrac{1200}{x} \iff f(x) = \dfrac{400}{x} - x.$

De facto, verificamos que:

$f(2) = \dfrac{400}{2} - 2 = 200 - 2 = 198,$

tal como antes.