Question

Seja f uma função real, de variável real, definida por f(x) = ax + b. Se f(1) = 9 e
${b}^{2} \: - {a}^{2} = 54$
, o valor de a - b é:

A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6

Answer 1

$f(x) = ax + b$

$f(1) = 9$

Portanto se x = 1 e f(1) = 9 temos que:

$a(1) + b = 9$

$a + b = 9$

$b^{2} - a^{2} = 54$

b² - a² é uma diferença de quadrados, portanto pode ser desenvolvida da seguinte forma:

$(a + b)(a - b) = 54$

Temos que a + b = 9, então:

$9(a - b) = 54$

Finalmente temos o sistema:

$\left \{ {{9a - 9b=54} \atop {a + b=9}} \right.$

Multiplicando a equação debaixo por 9 e somando com a de cima temos:

$9a + 9a - 9b + 9b = 54 + 81$

$18a = 54 + 81$

$18a = 135$

$a = \frac{135}{18} = \frac{15}{2}$

Substituindo o valor de a na equação debaixo:

$\frac{15}{2} + b = 9$

$b = 9 - \frac{15}{2}$

$b = \frac{18 - 15}{2} = \frac{3}{2}$

Por fim temos:

$a = \frac{15}{2}$

$b = \frac{3}{2}$

ou a = 7,5 e b = 1,5

O valor de a - b então é

7,5 - 1,5 = 6

Alternativa E