Question

Seja f uma função quadrática, com raízes 4 e 5. Sabendo que o gráfico de f forma uma parábola com concavidade para cima e que a distância do vértice dessa parábola para o eixo x é 4, escreva abaixo a lei de formação de f.

Resposta: f(x)

Answer 1

Resposta:

f(x) = 16x² - 144x + 320

Explicação passo a passo:

Função quadrática é sempre do tipo f(x) = ax² + bx + c, sendo a$\neq$0. Como a concavidade está para cima, a>0. Pelas Relações de Girard, f(x) = a(x-r1)(x-r2), sendo r1 e r2 as raízes da função quadrática. Assim,

f(x) = a(x-r1)(x-r2);

f(x) = a(x-4)(x-5);

f(x) = (ax-4a)(x-5);

f(x) = ax² - 5ax - 4ax + 20a;

f(x) = ax² - 9ax + 20a.

Além disso, sabe-se que o vértice dessa parábola, v, é (-b/2a; -Δ/4a). Por isso,

-b / 2a = 9a / 2a = 9/2;

Δ = b² - 4ac = 81a² - 80a² = a²;

-Δ/4a = -a² / 4a = -a/4;

v = (9/2; -a/4).

Nesse sentido, a distância, d, entre o eixo x (-b/2a;0) e o ponto v (9/2; -a/4) é:

$d = \sqrt{(9/2-9/2)^2 + (-a/4-0)^2} = 4$

$d = \sqrt{a^2/16} = 4\\a^2/16 = 4^2\\a^2 = 16^2$

a = 16, pois a>0.

Portanto, a lei de formação de f é:

f(x) = ax² - 9ax + 20a;

f(x) = 16x² - 9(16)x + 20(16);

f(x) = 16x² - 144x + 320.