Question

Seja f uma funçao polinomial de primeiro grau , crescente e tal que f (f(x)) = 9x + 2 , para todo x real . Sabendo-se que 2, 5, 8 ,... , 44 é uma progressao aritmetica de razao 3 , o valor numérico de f(2) + f (5) + f (8) +... + f (44 ) é :

Answer 1

Como nos é dada a composta fof(x), precisaremos começar determinando a função f(x).

Como o texto nos garante que f(x) é uma função de 1° grau, podemos representa-la por  f(x)=ax+b e, dessa forma, a composta f(f(x) será representada por:

$f(f(x))~=~a.f(x)+b\\\\\\f(f(x))~=~a.(ax+b)+b\\\\\\f(f(x))~=~a^2x+ab+b\\\\\\\boxed{f(f(x))~=~a^2x+b.(a+1)}$

Comparando esse resultado com a função f(f(x)) dada para achar os coeficientes "a" e "b":

$a^2x+b.(a+1)~=~9x+2\\\\\\\left\{\begin{array}{ccc}a^2&=&9~~~~~~\rightarrow~~1^a~equacao\\\\b.(a+1)&=&2~~~~~~\rightarrow~~2^a~equacao\end{array}\right$

Pela 1ª equação:

$a^2~=~9\\\\\\a~=~\pm\sqrt{9}\\\\\\\boxed{a~=~\pm3}\\\\\\Temos,~dois~possiveis~resultados~para~''a'',~no~entanto~o~texto~nos\\garante~que~a~funcao~\acute{e}~crescente,~logo~\underline{o~coeficiente~''a''~deve~ser}\\\underline{positivo}.\\Ficamos~entao~com~\boxed{a~=~+3}$

Pela 2ª equação:

$b.(a+1)~=~2\\\\\\b.(3+1)~=~2\\\\\\b.(4)~=~2\\\\\\\boxed{b~=~\frac{1}{2}}$

Assim, temos que f(x) é dada por:  $f(x)~=~3x+\frac{1}{2}$

Como f(x) é linear (função de 1° grau), uma vez que 2, 5, 8... estão em PA, então os resultados de f(2), f(5), f(8)... também estarão em PA, porém com razão diferente).

Podemos determinar a razão dessa nova PA de forma algébrica ou simplesmente calculando dois termos da sequencia para verificar a razão entre eles. Vamos utilizar esta 2ª forma:

$f(2)~=~3\,.\,(2)+\frac{1}{2}\\\\\\f(2)~=~6+\frac{1}{2}\\\\\\\boxed{f(2)~=~6,5}\\\\\\\\f(5)~=~3\,.\,(5)+\frac{1}{2}\\\\\\f(5)~=~15+\frac{1}{2}\\\\\\\boxed{f(5)~=~15,5}$

$razao~=~a_2-a_1\\\\\\razao~=~f(5)-f(2)\\\\\\razao~=~15,5-6,5\\\\\\\boxed{razao~=~9}$

Pela equação do termo geral podemos achar o numero total de termos:

$a_n~=~a_1+(n-1).r\\\\\\f(44)~=~(f2)+(n-1).9\\\\\\132,5~=~6,5+(n-1).9\\\\\\9.(n-1)~=~132,5-6,5\\\\\\n-1~=~\frac{126}{9}\\\\\\n~=~14+1\\\\\\\boxed{n~=~15}$

Por fim, podemos determinar o resultado da soma dos termos:

$S_{15}~=~\frac{(6,5+132,5)\,.\,15}{2}\\\\\\S_{15}~=~(139)~.~7,5\\\\\\\boxed{S_{15}~=~1042,5}$