Question

Seja f uma função derivável e g(x) = e^x f (3x + 1). Calcule g'(0) se f(1) = 2 e f'(1) = 3.

Answer 1

Vamos lá tentar.

Temos a seguinte função:

$\sf g(x) = e {}^{x}.f(3x + 1)$

Nessa função tem-se um produto entre "e" na "x" e a função "x", então para encontrar a derivada da função g(x), podemos usar a regra do produto, dada pela relação:

$\boxed{ \sf \frac{d}{dx} [ u(x).p(x)] = \frac{d}{dx} [u(x)] .p( x) + u(x). \frac{d}{dx} [p(x)] }$

Digamos que as funções u(x) e p(x) sejam respectivamente: $\sf u(x) = e^{x} \:\: e\:\: p(x) = f(3x+1)$, aplicando a tal regra:

$\sf \frac{d}{dx} [ u(x).p(x)] = \frac{d}{dx} [e {}^{x} ] .f(3x + 1) + e {}^{x} . \frac{d}{dx} [f(3x + 1)] \\ \\ \sf \frac{d}{dx} [u(x).p(x)] = e {}^{x} .f(3x + 1) + e {}^{x} .3. \frac{d}{dx} f(3x + 1) \: \: \: \: \: \: \:$

• A questão nos diz que f é uma função derivável, então podemos meio que usar a regra da cadeia na hora de derivá-la, ou seja, multiplicar a função pela derivada do conteúdo.

Agora que temos a função derivada, podemos calcular g'(0):

$\sf \frac{d}{dx} [u(x).p(x)] = e {}^{0}.f(3.0 + 1) + e {}^{0} .3. \frac{d}{dx} f(3.0 + 1) \\ \\ \sf \frac{d}{dx} [u(x).p(x)] = 1.f(1) + 1.3. \frac{d}{dx}f(1) \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Temos que f(1) é igual a 2 e a derivada da função f quando "x" é 1, o resultado é 3 [f'(1)=3], então:

$\sf \frac{d}{dx} [u(x).p(x)] = 1.2 + 1.3.3 \\ \\ \sf \frac{d}{dx} [u(x).p(x)] = 2 + 9 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \boxed{ \sf \frac{d}{dx} [u(x).p(x)] = 11} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Espero ter ajudado