Question

Seja f uma função definida no conjunto dos números naturais , tal que :

$f(n+1) = 2f(n) +3 \ , \forall \ n \in \mathbb{N}$

$a) Supondo \ f(0) = 0 \ , \ calcule$$f(1) , f(2) , f(3) , f(4) , ..... \ e \ descubra \ a \ ''f\acute{o}rmula \ geral'' \ de \ f(n)$

$b) \ Prove \ por \ indu\c{c}\tilde{a}o \ finita \ a \ f\acute{o}rmula \ descoberta.$

Answer 1

f(0) = 0
f(n+1) = 2f(n) + 3

para n = 0 => f(0+1) = 2f(0) + 3 => f(1) = 2.0 + 3 => f(1) = 3
para n = 1 => f(1+1) = 2f(1) + 3 => f(2) = 2.3 + 3 => f(2) = 9
para n = 2 => f(2+1) = 2f(2) + 3 => f(3) = 2.9 + 3 => f(3) = 21
para n = 3 => f(3+1) = 2f(3) + 3 => f(4) = 2.21 + 3 => f(4) = 45
         .     .         .             .        .        .          .        .         .       .
         .     .         .             .        .        .          .        .         .       .
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Observe que
f(5) = 2.45 + 3
f(5) = 2(2.21 + 3) + 3
f(5) = 2[2(2.9 + 3) + 3 ] + 3
f(5) = 2{2[2(2.3+3) + 3] + 3 } + 3
f(5) = 2{2[2².3 + 2.3 + 3] + 3 + 3
f(5) = 2 {2³.3 + 2².3 + 2.3 + 3} + 3
f(5) = 2⁴.3 + 2³.3 + 2².3 +2.3 + 3
f(5) = 3(2⁴ + 2³ + 2² + 2 + 1)
f(5) = 3(2⁵⁻¹ + 2⁵⁻² + 2⁵⁻³ + 2⁵⁻⁴ + 2⁵⁻⁵)
Logo:
f(n) = 2ⁿ⁻¹ + 2ⁿ⁻² + 2ⁿ⁻³ + ... + 2ⁿ⁻⁽ⁿ⁻¹⁾ + 2ⁿ⁻ⁿ
f(n) = 2ⁿ⁻¹ + 2ⁿ⁻² + 2ⁿ⁻³ + ... + 2 + 1 ( Esta é a fórmula pedida)


b) Para n = 1 => f(1) = 3. (2°) = 3.1 = 3 (verdadeiro)
Para n = k => f(k) = 3(2ⁿ⁻¹ + 2ⁿ⁻² + 2ⁿ⁻³ + ... + 2 + 1)
Vamos provar que a fórmula é válida para a = n+1
Para n = k + 1
f(k+1) = 2f(k) + 3, logo:
f(k+1) = 2[3(2ⁿ⁻¹ + 2ⁿ⁻² + 2ⁿ⁻³ + ... + 2 + 1 )] + 3
f(k+1) = 3[2(2ⁿ⁻¹ + 2ⁿ⁻² + 2ⁿ⁻³ + ... + 2 + 1)] + 3
f(k+1) = 3(2ⁿ + 2ⁿ⁻¹ + 2ⁿ⁻² + . . . + 2² + 2) + 3
f(k+1) = 3(2ⁿ + 2ⁿ⁻¹ + 2ⁿ⁻² + . . . + 2² + 2 + 1), troque n por k, em cada expoente, nas 4 últimas linhas.
Como provamos a veracidade da fórmula para n = k + 1
Concluímos que a fórmula do item a é verdadeira para todo  natural, n.

Answer 2

Olá Ludeen,


Organizando as informações:

$\mathsf{f(n+1)=2f(n)+3~~\forall~ n \in\mathbb{N}}\\\\\mathsf{f(0)=0}$


$\mathsf{A-}\\\\\mathsf{f(0+1)=2f(0)+3\Rightarrow f(1)=2\cdot 0+3\Rightarrow \boxed{\mathsf{f(1)=3}}}\\\\\mathsf{f(1+1)=2f(1)+3\Rightarrow f(2)=2\cdot 3+3\Rightarrow \boxed{\mathsf{f(2)=9}}}\\\\\mathsf{f(2+1)=2f(2)+3\Rightarrow f(3)=2\cdot9+3\Rightarrow \boxed{\mathsf{f(3)=21}}}\\\\\mathsf{f(3+1)=2f(3)+3\Rightarrow f(4)=2\cdot 21+3=\boxed{\mathsf{f(4)=45}}}$

Perceba que há um padrão a cada função consecutiva de n, onde todos são múltiplos de 3!

Além disso precisamos ver se há outro padrão ou regularidade para cada n.

Buscando regularidade para cada n:

$\mathsf{f(1)=3\cdot (1)}\\\mathsf{f(2)=3\cdot (3)}\\\mathsf{f(3)=3\cdot (7)}\\\mathsf{f(4)=3\cdot (15)}$

Perceba que a diferença entre os múltiplos de 3, são múltiplos de 2 e números impares. Vou deduzir com essas informações que sua equação geral será:

$\boxed{\mathsf{f(n)=3\cdot(2^n-1)}}$

$\mathsf{B-}$

$\mathsf{Se~\'a~ fun\c {c}\~ao~\{~f(n)=3\cdot(2^n-1)\}~\'e~valida~para~n, ent\~ao~ela~deve~ser}\\\mathsf{valida~para~todo~n=k.}$

$\mathsf{f(k+1)=3\cdot(2^{k+1}-1)~\gets Hip\'otese}\\\mathsf{f(k+1)=3\cdot(2^k\cdot 2-1)}\\\mathsf{f(k+1)=6\cdot2^k-3}$

$\mathsf{A~nossa~hip\'otese~dever\'a~ser~igual~a:\{~f(n+1)=2f(n)+3~\}}\\\mathsf{para~que~seja~verdadeira}$

$\mathsf{f(n+1)=2\cdot[3\cdot(2^n-1)]+3}\\\mathsf{f(n+1)=6\cdot(2^n-1)+3}\\\mathsf{f(n+1)=6\cdot2^n-6+3}\\\mathsf{f(n+1)=6\cdot2^n-3}$

$\large\boxed{\mathsf{f(n+1)=f(k+1)}}~\mathbf{ ~\checkmark }$


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