Question

Seja f uma função definida no conjunto dos números naturais, tal que:
f(n + 1) = 2f(n) + 3
para todo n natural.
a) Supondo f(0) = 0, calcule f(1), f(2), f(3), f(4), ... e descubra a "fórmula geral" de f(n).
b) Prove a fórmula descoberta.

Answer 1

Resposta:

a)

Dado que $f(0) = 0$ e $f(n+ 1) = 2\cdot f(2) + 3, \forall \,n \in \math{N},$ temos:

$f(1) = 2 \cdot f(0) + 3 = 2 \cdot 0 + 3 = 3;\\\\f(2) = 2 \cdot f(1) + 3 = 2 \cdot 3 + 3 = 9;\\\\f(3) = 2 \cdot f(2) + 3 = 2 \cdot 9 + 3 = 21;\\\\f(4) = 2 \cdot f(3) + 3 = 2 \cdot 21 + 3 = 45;\\\\...$

Perceba que:

$f(1) = 2\cdot f(0)+ 3;\\\\f(2) = 2 \cdot f(1) + 3 = 2 \left(2\cdot f(0)+ 3 \right) + 3 = 2^2 \cdot f(0) + 3(2 + 1);\\\\f(3) = 2 \cdot f(2) +3 = 2 \left(2^2 \cdot f(0) + 2 \cdot 3 + 3 \right) + 3 = 2^3 \cdot f(0) + 3(2^2 + 2 + 1);\\\\...$

Isto sugere que:

$f(n) = 2^n \cdot f(0) + 3 \left(2^{n-1} + 2^{n-2} + ... + 2 + 1 \right)\\\\\Longleftrightarrow f(n) = 2^n \cdot 0 + 3 \left(2^{n-1} + 2^{n-2} + ... + 2 + 1 \right)\\\\\Longleftrightarrow f(n) = 3 \left(2^{n-1} + 2^{n-2} + ... + 2 + 1 \right)$

O termo entre parênteses é a soma de uma progressão geométrica de $n$ termos, que são as potências de 2 com expoente variando de $0$ a $n-1$.

A soma $S$ de uma P.G. finita é dada por:

$S = \frac{a_1 \cdot \left(q^n - 1 \right)}{q - 1}\\\\\Longleftrightarrow S = \frac{1 \cdot (2^n - 1)}{2 - 1}\\\\\Longleftrightarrow S = 2^n - 1.$

Assim:

$\boxed{f(n) = 3 \left( 2^n -1 \right), \forall \,n \in \math{N}.}$

b)

Provemos a fórmula descoberta por meio do Princípio da Indução Finita.

Inicialmente, verifiquemos que a fórmula é verdadeira para $n = 0:$

$f(0) = 3\left(2^0 - 1 \right) = 3 \left(1 - 1 \right) = 3 \cdot 0 = 0.$

Em seguida, assumamos, por hipótese, que a fórmula é verdadeira para algum $k \in \math{N}, k \geq 0:$

$f(k) = 3 \left( 2^k - 1 \right).$

Ora, pela definição dada, e utilizando a hipótese acima, temos:

$f(k + 1) = 2\cdot f(k) + 3\\\\\Longleftrightarrow f(k+1) = 2 \cdot 3 \left(2^k - 1 \right) + 3\\\\\Longleftrightarrow f(k+1) = 3 \left( 2^{k+1} - 2 \right) + 3\\\\\Longleftrightarrow f(k+1) = 3 \left( 2^{k+1} - 2 + 1 \right)\\\\\Longleftrightarrow f(k+1) = 3 \left(2^{k+1} - 1 \right).$

Chegando à fórmula descoberta para $n = k + 1.$

Em resumo:

$f(0);\\\\f(k) \Rightarrow f(k+1), \forall \, k \in \math{N}, k \geq 0.$

Logo, a fórmula é verdadeira para todo número natural, Q.E.D.