Question

seja f uma funcao bijetora definida por f(x)= (3x+5) / (2x+1) nessas condicoes e correto afirmar que o dominio de f ^ -1 (x) e o conjunto de todos os valores de x tal que:
a) x e diferente de 1/2
b) x e diferente de -1/2
c) x e diferente de -5/3
d) x e diferente de 5/3
e) x e diferente de 3/2

Answer 1

Temos uma função bijetora, cuja lei é

$\mathsf{f(x)=\dfrac{3x+5}{2x+1}}$

Como f é bijetora, então ela possui inversa. A composição de f com sua inversa deve ser igual à função identidade:

$\mathsf{(f\circ f^{-1})(x)=x}\\\\ \mathsf{f\big[f^{-1}(x)\big]=x}$

É só substituir $\mathsf{f^{-1}}$ na lei de f:

$\mathsf{\dfrac{3f^{-1}(x)+5}{2f^{-1}(x)+1}=x}\\\\\\ \mathsf{3f^{-1}(x)+5=x\cdot (2f^{-1}(x)+1)}\\\\ \mathsf{3f^{-1}(x)+5=2x\cdot f^{-1}(x)+x}\\\\ \mathsf{3f^{-1}(x)-2x\cdot f^{-1}(x)=x-5}\\\\ \mathsf{(3-2x)\cdot f^{-1}(x)=x-5}\\\\\\ \mathsf{f^{-1}(x)=\dfrac{x-5}{3-2x}}$

O denominador não pode ser igual a zero. Então, a condição sobre o domínio de $\mathsf{f^{-1}(x)}$ é

$\mathsf{3-2x\ne 0}\\\\ \mathsf{2x\ne 3}\\\\ \mathsf{x\ne \dfrac{3}{2}\quad\longleftarrow\quad resposta.}$

Resposta: alternativa e) x é diferente de 3/2.

Dúvidas? Comente.

Bons estudos! :-)