Question

Seja F um função de N em R> tal que F(n) = 4F([n/2]) + n quando n >= 2. Mostre que F está em Θ (n²). Sugestão: mostre que 1/4n² <= F(n) <= 8n² para todo n suficientemente grande.

Answer 1

Olá, Júnior.

 

Como o domínio de F(n) é o conjunto dos números naturais, então F(n) está definida se e somente se n/2 for natural, o que implica que n deve ser par.

 

Portanto, não estão definidas F(3), F(5), F(7), etc.

 

Como F(3), F(5), F(7), ... não estão definidas, então F(6), F(10), F(14) também não estão definidas, pois, pela relação de recorrência, F(6) = 2F(3) + 1, F(10) = 2F(5) + 1, ... e assim por diante.

 

F(n) está definida, portanto, apenas quando n, além de par, for uma potência de 2.

 

Assim:

 

$<var>F(n) = 4F(\frac{n}2) + n, \forall n \geq 2 \Rightarrow \\\\ \begin{cases} F(2)=4F(1)+2=2^2F(1)+2\cdot \frac22\\ F(4)=4F(2)+4=4[4F(1)+2]=16F(1)+8=4^2F(1)+4\cdot \frac42 \\ F(8)=4F(4)+8=4[16F(1)+8]=64F(1)+32=\\=8^2F(1)+8\cdot \frac82\\ F(16)=4F(8)+16=4[64F(1)+32]+16=256F(1)+128=\\=16^2F(1)+16\cdot \frac{16}2\\ \vdots \end{cases}</var>$

 

Verifica-se, portanto, que, em geral:

 

$<var>F(n)=n^2F(1)+n\cdot \frac{n}2=n^2F(1)+\frac{n^2}2=n^2\underbrace{[F(1) + \frac12]}_{n\'umero\ real}</var>$

 

$<var>\therefore \boxed{F(n)=O(n^2)}</var>$