Question

Seja F:R R uma função tal que F (nx)=[F(x)]n para todo numero inteiro n e todo numero real x. Se F(1)=3 entao o valor da soma F(1)+F(2)+F(3)+F(4)+F(5)+F(6)+F(7) é?

Answer 1

Se $f(nx)=n\cdot f(x)$, então:

$f(2\cdot 1) = 2 \cdot f(1) \\ f(3\cdot 1) = 3 \cdot f(1) \\ f(4\cdot 1) = 4 \cdot f(1) \\ f(5\cdot 1) = 5 \cdot f(1) \\ f(6\cdot 1) = 6 \cdot f(1) \\ f(7\cdot 1) = 7 \cdot f(1)$
Sabemos que f(1) = 3. Então, a soma vale

3 + 6 + 9 +12 + 15 + 18 + 21 = 84

Answer 2

O valor da soma F(1)+F(2)+F(3)+F(4)+F(5)+F(6)+F(7) é 84.

Do enunciado, sabemos que F(n.x) = n.F(x) e que F(1) = 3, queremos encontrar o valor da soma dada pela expressão:

F(1) + F(2) + F(3) + F(4) + F(5) + F(6) + F(7)

Podemos escrever F(2) como F(2.1) o que fica parecido com F(n.x) onde n = 2 e x = 1, assim podemos fazer com todos:

F(2) = F(2.1) = 2.F(1)

F(3) = F(3.1) = 3.F(1)

F(4) = F(4.1) = 4.F(1)

F(5) = F(5.1) = 5.F(1)

F(6) = F(6.1) = 6.F(1)

F(7) = F(7.1) = 7.F(1)

Substituindo o valor de F(1), temos:

F(1) = 3

F(2) = 2.3 = 6

F(3) = 3.3 = 9

F(4) = 4.3 = 12

F(5) = 5.3 = 15

F(6) = 6.3 = 18

F(7) = 7.3 = 21

Somando tudo, encontramos o resultado 84.

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