Question

Seja f : R → R uma função tal que f(a+b) = f(a) - f(b), ∀a,b ∈ R. Julgue os itens a seguir

( ) f(0)=0
( ) f é impar


Gabarito: as duas estão certas

Answer 1

A lei da função satisfaz a seguinte condição:

    $\mathsf{f(a+b)=f(a)-f(b)}$

para todo $\mathsf{a,\,b\in\mathbb{R}.}$

Façamos b = 0:

    $\mathsf{f(a+0)=f(a)-f(0)}\\\\ \mathsf{f(a)=f(a)-f(0)}$

Isole f(0):

    $\mathsf{f(0)=f(a)-f(a)}\\\\ \mathsf{f(0)=0\qquad\checkmark}$

Além disso, podemos escrever que

      $\mathsf{f\big[(x+y)+(-y)\big]=f(x+y)-f(-y)}\\\\ \mathsf{f\big[x+\diagup\!\!\!\! y-\diagup\!\!\!\! y\big]=f(x+y)-f(-y)}\\\\ \mathsf{f(x)=f(x+y)-f(-y)}\\\\ \mathsf{f(x)+f(-y)=f(x+y)}\\\\ \mathsf{f(x)+f(-y)=f(x)-f(y)}\\\\ \mathsf{f(-y)=-f(y)\qquad\checkmark}$

portanto, f é ímpar.

Curiosidade: Fica como exercício provar que a função f desta tarefa é também uma função nula, ou seja

    f(x) = 0,   para todo x real.

Dica: Lembre-se da comutatividade da soma de números reais, ou seja, a + b = b + a.

Resposta: ambas as afirmações "f = 0" e "f é ímpar" são verdadeiras.

Dúvidas? Comente.

Bons estudos! :-)