Question

Seja f : R → R uma função tal que f(0) = 0 e lf(x) - f(y)l = lx-yl para quaisquer x,y ∈ R. Prove que ou f(x) = x para todo x ou então f(x) = -x seja qual for x.

Answer 1

dada uma função$f(x) = ax^n + bx^{n-1} +...+z$ e sabendo que f(0) = 0, então devemos ter que z = 0, se não fosse verdade f(0) = z.

Então temos que a função é do tipo → $f(x) = ax^n + bx^{n-1} +...+ x$

vamos subtrair f(x) a f(y)

→ $f(x) - f(y) = ax^n + bx^{n-1} +...+ x - ay^n - by^{n-1} - ...- y$
→ $f(x) - f(y) = (ax^n- ay^n) + (bx^{n-1}- by^{n-1}) +...+ (x-y)$

Agora vamos colocar o módulo em cada lado da equação

→$|f(x) - f(y)| = |(ax^n- ay^n) + (bx^{n-1}- by^{n-1}) +...+ (x-y)|$

Porém sabemos do enunciado que:

$|f(x) - f(y)| = |x-y|$

Então vamos substituir em nossa equação esse dado

→$|x-y| = |(ax^n- ay^n) + (bx^{n-1}- by^{n-1}) +...+ (x-y)|$

Agora vamos eliminar o módulo

→$x-y = (ax^n- ay^n) + (bx^{n-1}- by^{n-1}) +...+ (x-y)$
→$0= (ax^n- ay^n) + (bx^{n-1}- by^{n-1}) +...+ 0$

Segue que cada termo desse somatório deve resultar zero, para que a soma geral seja zero, visto que ambos provém de uma mesma equação.

Então, voltando a hipótese de inicio $f(x) = ax^n + bx^{n-1} +...+ x$, descobrimos que esse f(x) na realidade é do tipo:

→ $f(x) = x$

Digamos que |f(z)| = f(x) = x

→ |f(z)| = x

Fazendo o módulo dos dois lados teremos:

→||f(z)|| = |x|
→|f(z)| = |x|
→f(x) = |x|

Sabemos que

→ |x| = x se x > 0
→ |x| = -x se x < 0 

Então f(x) = x ou f(x) = -x