Question

Seja f : R → R uma função polinomial do 2º grau definida por f ( x ) = x² + mx + 8 − m, com m > 0. Sabendo que a função f possui uma única raiz real, qual é o valor de m?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
tem que responder fazendo uma conta :(

Answer 1

Resposta: D

Explicação passo-a-passo:

O número de raízes reais de uma função polinomial do 2º grau é determinado pelo valor do discriminante $\Delta$. Para uma função qualquer do segundo grau, ela tem a forma $f(x) = ax^2 + bx + c$, então $\Delta = b^2 - 4ac$.

Se $\Delta$ for um número positivo, a função possui duas raízes reais distintas.

Se $\Delta$ for igual a zero, uma única raiz real.

Por fim, se $\Delta$ for negativo, nenhuma raiz real.

Lembrando que raiz são os valores de $x$ que zeram a função.

Se f possui apenas uma única raiz real, então $\Delta = 0$. Basta agora identificarmos os valores de a, b e c na função dada:

$f(x) = x^2 + mx + 8 - m \implies f(x) = 1 \cdot x^2 + mx + (8 - m)$

Isto é, $a=1, b=m, c=8-m$. Substituindo na expressão para o delta, e igualando a zero:

$\Delta = 0 \implies b^2 - 4ac = 0 \implies m^2 - 4\cdot1\cdot(8-m)=0$

Agora só precisamos solucionar a equação para m.

$m^2 - 4(8-m) = 0 \implies m^2 - 32 + 4m = 0 \implies m^2 + 4m - 32 = 0$

Encontramos uma equação do segundo grau para m, utilizando o método de Bháskara:

$m = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \implies m = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-32)}}{2 \cdot 1} \implies m = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 128}}{2}$

$m = \frac{-4 \pm \sqrt{144}}{2} \implies m = \frac{-4 \pm 12}{2}$

$m_1 = \frac{-4 + 12}{2} \implies m_1 = \frac{8}{2} \implies m_1 = 4$

Perceba que não precisamos calcular $m_2$, já que -4-12 certamente é um número negativo, e o enunciado nos diz que m é positivo, logo, m = 4.