Matemática, perguntado por cfernando22, 5 meses atrás

Seja f : R → R , definida por: f ( x ) = ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ − x − 1 , s e x ≤ − 1 − x 2 + 1 , s e − 1 < x < 1 x − 1 , s e x ≥ 1 , o conjunto imagem de f é dado por: [ 0 , + ∞ [ [ − 1 , 1 ] [ 1 , + ∞ [ ] − ∞ , − 1 ] ] − ∞ , 1 ]

Soluções para a tarefa

Respondido por solkarped

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que o conjunto imagem da referida função polinomial definida por partes é:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf \textrm{Im} = \left[0,\,+\infty\left[\:\:\:}}\end{gathered}$}$

Portanto, a opção correta é:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf Alternativa\:A\:\:\:}}\end{gathered}$}$

Seja a função:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}\:\:\:\textrm{tal que}\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} f(x):\:\Large\begin{cases} -x - 1 ,\:\:\:\textrm{se}\:x\leq-1\\-x^2 + 1,\:\textrm{se}\:-1 < x < 1\\x - 1,\:\:\:\:\:\:\textrm{se}\:x\geq1\end{cases}\end{gathered}$}$

Para montar o gráfico desta função podemos encontrar 2 pontos para cada uma das partes da função. Então, temos:

Calcular dois pontos para a parte "-x - 1":

Se x = -2:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y = -(-2) - 1 = 2 - 1 = 1 \Longrightarrow A(-2, 1)\end{gathered}$}$

Se x = -1:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y = -(-1) - 1 = 1 - 1 = 0 \Longrightarrow B(-1, 0)\end{gathered}$}$

Calcular dois pontos para a parte "-x² + 1":

Se x = 0:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y = -(0^{2}) + 1 = 0 + 1 = 1 \Longrightarrow C(0, 1)\end{gathered}$}$

Se x = 1:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y = -(1^{2}) + 1 = -1 + 1 = 0 \Longrightarrow D(1, 0)\end{gathered}$}$

Calcular dois pontos para a parte "x - 1":

Se x = 2:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y = 2 - 1 = 1 \Longrightarrow E(2, 1)\end{gathered}$}$

Se x = 3:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y = 3 - 1 = 2 \Longrightarrow F(3, 2)\end{gathered}$}$

Avaliando o posicionamento dos pontos no gráfico da questão percebemos que as imagens dos pontos pertencentes à referida função estão sempre na parte não negativa do eixo das ordenadas. Deste modo, o conjunto imagem da função é:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \textrm{Im} = \{y\in\mathbb{R}\:|\:y\geq0\} = \left[0,\,+\infty\left[\end{gathered}$}$