Question

Seja f: R→R definida por:

f(x)= $\left \{ {{3x+3, x \leq 0 } \atop { x^{2} +4x+3, x\ \textgreater \ 0}} \right.$

Então:

a) f é bijetora e (fof)( $\frac{-2}{3}$)=$f^{-1} (21)$
b) f é bijetora e (fof)($\frac{-2}{3}$)=$f^{-1} (99)$
c) f é sobrejetora, mas não é injetora
d) f é injetora, mas não é sobrejetora
e) f é bijetora e (fof)$( \frac{-2}{3} )$=$f^{-1}(3)$

Answer 1

 Olá!

 Do gráfico, podemos ver que a IMAGEM corresponde ao conjunto dos reais, e o CONTRADOMÍNIO, de acordo com o enunciado pertence aos reais; desse modo, podemos tirar que a função é SOBREJETORA, afinal uma função é sobrejetora quando sua imagem é igual ao seu contradomínio.

 Quanto a injetividade, sabemos da definição que: se $\mathrm{x_1 \neq x_2}$, então $\mathrm{f(x_1) \neq f(x_2)}$. Bom! do gráfico também podemos observar que isto é o que ocorre.

 Ora, a função é sobrejetora e também injetora, portanto, BIJETORA! Para finalizá-la devemos determinar $\displaystyle \mathrm{(f \circ f)\left (\frac{- 2}{3} \right )}$.

 Segue,

 Uma vez que $\mathrm{\frac{- 2}{3} < 0}$, consideramos $\mathrm{f(x)=3x+3}$. Daí,

$\\ \mathrm{\left ( f \circ f \right ) \left ( x \right ) = 3 \cdot (3x + 3) + 3} \\\\ \mathrm{\left ( f \circ f \right ) \left ( x \right ) = 9x + 9 + 3} \\\\ \mathrm{\left ( f \circ f \right ) \left ( x \right ) = 9x + 12} \\\\ \mathrm{\left ( f \circ f \right ) \left ( \frac{- 2}{3} \right ) = 9 \cdot \frac{- 2}{3} + 12} \\\\ \mathrm{\left ( f \circ f \right ) \left ( \frac{- 2}{3} \right ) = - 6 + 12} \\\\ \mathbf{\left ( f \circ f \right ) \left ( \frac{- 2}{3} \right ) = 6}$

 Por conseguinte, temos que:

$\mathrm{\left ( f \circ f \right ) \left ( \frac{- 2}{3} \right )} = \begin{cases} \mathrm{6 = f^{- 1} (21) \Rightarrow f(6) = 21 \qquad \qquad (i)} \\\\ \mathrm{6 = f^{- 1} (99) \Rightarrow f(6) = 99 \qquad \qquad (ii)} \\\\ \mathrm{6 = f^{- 1} (3) = 6 \Rightarrow f(6) = 3 \qquad \quad (iii)}\end{cases}$

 Das três uma... Em contrapartida,

$\\ \mathrm{f(x) = 3x + 3} \\ \mathrm{f(6) = 3 \cdot 6 + 3} \\ \mathrm{f(6) = 18 + 3} \\ \boxed{\mathbf{f(6) = 21}}$

 Logo, (i) é verdadeira. Então, a opção correta é o item a)!!