Question

Seja f:R-R bijetora e impar. Mostre que a função inversa f-¹; R-R também é impar

Answer 1

$f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}:f(x)$

Diremos que $f^{-1}$ é a inversa de $f$. Sabemos que uma função ímpar é toda função que:

$f(-x)=-f(x)$, ou seja, qualquer elemento oposto que eu pegar do domínio resultará numa imagem oposta à x.

Sabemos também que:

$fof^{-1}=f(f^-1)=x$, ou seja, retorna na função identidade

Sendo assim:

$f(-f^{-1})=-x\\f(f^{-1})=x \Rightarrow f(-f^{-1})+f(f{^-1})=0\Rightarrow f(-f^{-1})=-f(f^{-1})\\f^{-1}=y\Rightarrow f(-y)=-f(y)$

Ou seja

$f: \ bijetora \ e \ impar, y=f^{-1} \Rightarrow f(-y)=-f(y),\ \forall y\in \mathbb{R}$