Question

Seja f: R➡R a função representada no gráfico acima:
a) Qual é a Lei que define f?

b)Resolva a equação em f(x) = 5. Verifique no gráfico as soluções encontradas.

c) Para que valores reais de k a equaçao f(x) = k apresenta soluções?

Ajudem-me por favor

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Answer 1

a)

$f(x)=\begin{matrix} -2x+4\,\,para\,x\leq2\\x+1\,\,para\,x>2 \end{matrix}$

b) O valor de x que faz f(x)=5 será x=4.

c) A função só apresenta valores reais para $k\geq 2$

a)

podemos verificar que a função é uma função definida por partes.

O ponto onde f(x)=2 é o ponto que separa a função em duas leis distintas.

Comecemos com $x \leq2$

Como a função é linear (pelo gráfico), sabemos que a função terá a forma ax+b.

Podemos ver que para x=0, teremos f(0)=4 e, por isso, b=4

Para x=1 teremos f(x)=2

portanto a*1+4=2

a=2-4

a=-2

assim definimos que a função será -2x+4.

Veremos agora para $x \geq2$.

De x=1 para x=2 vemos que a função aumentou de f(x)=2 para f(x)=3.

como a equação também é linear, ela também etrá a forma ax+b.

tendo dois pontos, podemos encontrar o valor de a:

f(2)-f(1)=m*(2-1)

3-2=m*2-1

1=m

portanto a função tem a=1.

Não sabemos o valor de f(0) para esta parte da função, mas podemos encontrar o valor de b ao fazer

f(1)=a*1+b

2=1+b

b=2-1

b=1.

Portanto para x>2 a função será x+1.

$f(x)=\begin{matrix} -2x+4\,\,para\,x\leq2\\x+1\,\,para\,x>2 \end{matrix}$

b) O valor de x que faz f(x)=5 será x=4.

5 é maior do que 2 e por isso usaremos x+1 para encontrar o valor de x neste ponto.

assim sabemos que x+1=5

Logo x=4.

c) A função só apresenta valores reais para $k\geq 2$

Observe as retas vermelhas. Elas não passam para baixo do valor y=2 (na vertical).

Portanto só existe solução para k igual ou maior do que 2.