Question

Seja f : R -> R uma função infinitamente derivavel com as seguintes propriedades:
1. f'(x)=5xf(x)
2. f(x)>0 ∀x
3. f(0)=4
Calcule o valor da expressão: f⁽⁴⁾(0) + f⁽²ᵏ⁺¹⁾(0), k =11. Digite a resposta no campo indicado com a precisão de duas casas decimais.

Answer 1

Resposta: $\red{\boldsymbol{\sf f^{(4)}(0)+f^{(2k+1)}(0)=300,\!00.}}$

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Explanação

Vamos lá? Temos a expressão $\sf f^{(4)}(0)+f^{(2k+1)}(0)$ para ser calculada mas não conhecemos a função em questão. Todavia, conhecemos três das suas propriedades explanadas pelo enunciado:

ﾠﾠ$\begin{array}{l}\sf 1.~f'(x)=5x\,f(x)\\\sf2.~ f(x) > 0, ~\forall x\\\sf3.~ f(0)=4\end{array}$

• A P1 diz que a derivada de f(x) é igual a 5xf(x);
• A P2 diz que f(x) é positiva para qualquer x;
• A P3 diz que a f(x) no ponto x = 0 é igual a 4.

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É com base nessas informações que tentaremos encontrar as derivadas envolvidas na expressão de modo a calcular seu valor.

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PASSO 1

Dado que a primeira derivada é f'(x) = 5xf(x), vamos a derivá-la para encontrar a segunda derivada:

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ﾠﾠ$\begin{array}{l}\sf f''(x)=[5x\,f(x)]'\\\\\sf \qquad\:\,=(5x)'f(x)+f'(x)5x\\\\\sf \qquad\:\,=5\,f(x)+[5xf(x)]5x\\\\\sf \qquad\:\,=5\,f(x)+25x^2f(x).\end{array}$

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Vamos derivar novamente agora para encontrar a terceira derivada:

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ﾠﾠ$\begin{array}{l}\sf f'''(x)=[5\,f(x)+25x^2f(x)]'\\\\\sf \qquad~=[5\,f(x)]'+[25x^2f(x)]'\\\\\sf \qquad~=5\,f'(x)+25[(x^2)'f(x)+f'(x)\,x^2]\\\\\sf \qquad~=5\,f'(x)+25[2x\,f(x)+f'(x)\,x^2]\\\\\sf \qquad~=5[5x\,f(x)]+25[2x\,f(x)+(5x\,f(x))\,x^2]\\\\\sf \qquad~=25x\,f(x)+25[2x\,f(x)+5x^3\,f(x)]\\\\\sf \qquad~=25x\,f(x)+50x\,f(x)+125x^3\,f(x)\\\\\sf \qquad~=75x\,f(x)+125x^3\,f(x).\end{array}$

E derivando novamente para encontrar a quarta derivada:

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ﾠﾠ$\begin{array}{l}\sf f^{(4)}(x)=[75x\,f(x)+125x^3\,f(x)]'\\\\\sf \qquad~\,\:=[75x\,f(x)]'+[125x^3\,f(x)]'\\\\\sf \qquad~\,\:=75[(x)'f(x)+f'(x)\,x]+125[(x^3)'f(x)+f'(x)\,x^3]\\\\\sf \qquad~\,\:=75[f(x)+f'(x)\,x]+125[3x^2f(x)+f'(x)\,x^3]\\\\\sf \qquad~\,\:=75[f(x)+(5x\,f(x))\,x]+125[3x^2f(x)+(5x\,f(x))\,x^3]\\\\\sf \qquad~\,\:=75[f(x)+5x^2\,f(x)]+125[3x^2f(x)+5x^4\,f(x)]\\\\\sf \qquad~\,\:=75\,f(x)+375x^2\,f(x)+375x^2f(x)+625x^4\,f(x)\\\\\sf \qquad~\,\:=75\,f(x)+750x^2f(x)+625x^4\,f(x).\end{array}$

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PASSO 2

Para calcular a quarta derivada no ponto x = 0, faça a substituição de x = 0 e f(0) = 4:

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ﾠﾠ$\begin{array}{l}\sf f^{(4)}(0)=75\cdot f(0)+750\cdot0^2\cdot f(0)+625\cdot 0^4\cdot f(0)\\\\\sf \qquad~\,\:=75\cdot 4+0+0\\\\\sf \qquad~\,\:=300.\end{array}$

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PASSO 3

Bom, agora precisamos determinar $\sf f^{(2k+1)}$ para k = 11, ou seja:

$\sf f^{(2\cdot11+1)}=f^{(22+1)}=f^{(23)}$,  no ponto x = 0.

Observe que lá no PASSO 1 é possível perceber um padrão. Quando a ordem da derivada é ímpar, todos os termos estão multiplicados por x. Nota-se comparando f'(x) e f'''(x) com as outras duas derivadas. Mas o que isso quer dizer? Quer dizer que $\sf f^{(n)}(0)=0$ para toda ordem n que seja ímpar! Pois se todos os termos destas derivadas são multiplicados por x, no ponto x = 0 estas derivadas serão iguais a zero. Veja que, de fato, isso é verdade:

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                            $\begin{gathered}\sf f'(0) = 5\cdot0\cdot f(0) = 0,~n=1;\\\\\sf f'''(0) = 75\cdot0\cdot f(0) + 125\cdot0^3\cdot f(0) = 0,~n=3;\\\vdots\\\sf f^{(n)}(0)=0,~com~n~impar.\end{gathered}$

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Portanto, como 23 é ímpar, pode-se concluir que:

ﾠﾠ$\sf f^{(23)}(0)=0.$

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PASSO 4

Por fim, calculemos o valor final da expressão:

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ﾠﾠ$\begin{array}{l}\sf f^{(4)}(0)+f^{(2k+1)}(0),~k=11\\\\\sf f^{(4)}(0)+f^{(23)}(0)= 300+0\\\\\boldsymbol{\red{\sf f^{(4)}(0)+f^{(23)}(0)=300}}.\end{array}$

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Com a precisão de duas casas decimais, temos 300,00 como resposta. Ok? Dúvidas? Não hesite em perguntar. Abraços, Nasgovaskov.