Question

Seja f parêntese esquerdo x parêntese direito igual a l n espaço x. Utilizando um polinômio de Taylor de ordem 2 em volta de x com 0 subscrito igual a 1, podemos calcular um valor aproximado para l n espaço 1 vírgula 05. Esse valor aproximado é:

Answer 1

Resposta:

0.04875

Explicação passo-a-passo:

O polinômio de Taylor de 2ª ordem é:

$P(x) = f(x_{0}) + f'(x_{0})(x-x_{0})+\dfrac{f''(x_{0})}{2!}(x-x_{0})^2$

Onde:

 $f(x_{0})$ a função

$f'(x_{0}), f''(x_{0})$ são as derivadas de 1 e 2 ordem da função

$x_{0}$ é ponto escolhido

Assim,

$x_{0} = 1$

$f(x) = ln \,x$

$f'(x) = \dfrac{1}{x} \,\,\,\,\,\,\,\, f'(1) = \dfrac{1}{1} = 1$

$f''(x) = -\dfrac{1}{x^2} \,\,\,\,\,\,\,\, f''(1) = -\dfrac{1}{1^2} = -1$

Substituindo,

$P(x) = 0 + 1*(x-1)-\dfrac{1}{2}(x-1)^2$

$P(x) =x - 1 -\dfrac{1}{2}(x-1)^2$

Para x = 1,05

$P(1.05) =1.05 - 1 -\dfrac{1}{2}(1.05-1)^2 = 0.05 -0.00125$

$ln\, 1.05 = P(1.05) = 0.04875$